边界上有奇点时，格林公式还能不能用？

Question

川大的教材上有一题：被积函数是P（x,y）=sqrt（xx+yy），Q(x,y)=y(xy+ln(x+sqrt(xx+yy)))；积分曲线为y=sin(x)与x轴围成封闭区域的边界（0=<x=<pi），这里原点（0，0）为奇点，Q（x,y）在原点不可导啊，但书上说仍然可以用格林公式，请问为什么可以用，求助

Answer 1

估计书上说的是以原点为圆心R为半径作出一个很小的区域后，在这个内边界和外边界之间就可用使用格林公式了，再对其中的小区域同样使用格林公式，两者相减即可。追问

这里的奇点是在边界上，不是在区域内，你怎么作圆，作出来的圆周只有一部分在原来的区域内，显然是行不通的，书上没有你说的意思，他上面只说“在这里Q(x,y)在原点处是不可微的，请读者想想为什么仍然可以直接使用格林公式。“

追答

边界上的话就做个半圆呗，那有什么关系，不过如果不是这个意思，那你可以再看看格林公式的使用条件，函数在某点处出可微就一定连续，但不可微不代表在该点处就不连续，所以你自己再计算看看P（x,y）,Q（x,y）,P对y的微分以及Q对x的微分在原点是否都是连续的，如果是的那就可以使用格林公式。

追问

做半圆有什么用，在（0，pi）上，y=sin（x）与x轴围成的区域的边界可以画出来，在原点作半圆后怎么用格林公式计算？它不像区域内的奇点可以作一个圆把奇点分离后，原来的曲线积分就等于在小圆上的曲线积分，这里作半圆后怎么计算原来的积分。再者格林公式的条件是P和Q具有连续的偏导数，现在Q在原点根本就不可微，还怎么看它的微分在原点是否连续

Answer 2

你还没有真正明白格林的小心思，知乎搜秒度克点关注，我先给你解答一下吧，格林挖洞是因为奇点(0,0).但是挖下去后奇点就消失了，不会还在傻傻的站在那里，因为封闭路径内部的奇点是来自于被积函数，挖洞的时候用边界化简了被积函数，挖洞后的被积函数不认为0,0是奇点本回答被网友采纳

Answer 3

今天也做了道题 发现边界有奇点用答案也一样 个人感觉是跟定积分定义有关吧 只要有有限个间断点都可以算