洛必达法则1：基本型
当函数 f(x) 和 g(x) 在点 c 的某个邻域内可导，且 g'(c) 非零，即使得 lim h→0 (f(c+h)/g(c+h)) 为实数或无穷大时，我们可以通过洛必达法则来求极限。首先，定义 lim h→0 (f'(c+h)/g'(c+h))，若这个极限存在，那么极限值即为原极限。
对任意 ε，取 N 使得 h∈(-N,N) 时，有 |f'(c+h)/g'(c+h) - L| < ε。应用柯西中值定理，我们有
|(f(c+h)/g(c+h)) - L| = |(f'(ξ_h)/g'(ξ_h)) * h| < ε|h|，ξ_h 位于 c+h 和 c 之间。
当 h→0，极限存在，即 lim h→0 |h| = 0，得出原极限 lim h→0 (f(c+h)/g(c+h)) = L。
洛必达法则1.2：扩展型
对于函数 f(x) 和 g(x)，如果存在 M 使得当 x→a 时 f(x) 和 g(x) 都可导且 g'(x) 不为零，即使得 lim x→a (f(x)/g(x)) 存在，洛必达法则同样适用。以 f'(a) 和 g'(a) 代入，我们可以证明极限的存在。
通过设置 h = x - a，当 h→0，我们有 f'(a) = lim h→0 f(a+h)/h。结合柯西中值定理和极限的性质，可以得出洛必达法则的具体推导。
洛必达法则2：复杂型
针对函数在某个右领域 (c,∞) 的极限，洛必达法则同样适用。以实数情况为例，当 f(x) / g(x) 无限大时，我们可以分析 lim x→∞ (f'(x)/g'(x))。证明过程涉及极限保号性与不等式性质，通过构造辅助函数和应用柯西中值定理，可得极限结果。
对于非实数极限，例如 g(x) 为复数，我们可以类比实数情况，通过设辅助函数并结合保号性来处理。洛必达法则的证明涉及更复杂的分析技巧，这部分将在后续章节详细展开。