高等数学 一元函数积分 求质心的问题

Question

设有平面薄片，所占的平面图形是D:a<=x<=b,g(x)<=y<=f(x),其中f(x)g(x)在[a,b]连续，质量分布均匀，设面密度为1，求它的质心(x,y)。
任取[x,x+dx]与之对应的小窄条，其质量为[f(x)-g(x)]dx 静力矩 dMy=x[f(x)-g(x)]dx, dMx=1/2[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dx
请问静力矩dMx的1/2是怎么来的？ X静力矩应为各质点 质量与y坐标 的乘积之和 Mx=∑ mi * yi (i=1到n)

Answer 1

楼主说的没有错，确实是：
X静力矩应为各质量微元的质量与质量微元得的y坐标乘积之总和：Mx=∑ mi * yi (i=1到n)。

1、在图示的狭长矩形上，质心的y坐标就是该狭长矩形的中点坐标，也就是：
y = (y₁+ y₂) / 2 = [f(x) + g(x)] / 2

2、此狭长矩形的微面积 dA = [f(x) - g(x)] dx

3、此狭长矩形的微质量 dm = [f(x) - g(x)] dx × 1 = [f(x) - g(x)] dx

4、此狭长矩形的微力矩 dMx = [f(x) - g(x)] dx × y
= [f(x) - g(x)] dx × [f(x) + g(x)] / 2
= ½[f(x) - g(x)] × [f(x) + g(x)] dx

欢迎追问。

Answer 2

小窄条近似为矩形，质量分布均匀的矩形的质心即为形心，为矩形的对称中心，即两条对角线的交点，其横坐标近似为x，纵坐标近似为1/2(f+g)。