矩阵的秩在什么情况下为0

如题所述

矩阵的秩等于0的充分必要条件是这个矩阵是零矩阵。

参照定理:对于每个矩阵A,fA都是一个线性映射,同时,对每个的 线性映射f,都存在矩阵A使得 f= fA。也就是说,映射是一个同构映射。所以一个矩阵 A的秩还可定义为fA的像的维度(像与核的讨论参见线性映射)。

矩阵 A称为 fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵,因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 n减 f的核的维度;秩-零化度定理声称它等于 f的像的维度。

扩展资料

秩线性映射的推广:

只有零矩阵有秩 0 A的秩最大为 min(m,n) f是单射,当且仅当 A有秩 n(在这种情况下,我们称 A有“满列秩”)。f是满射,当且仅当 A有秩 m(在这种情况下,我们称 A有“满行秩”)。在方块矩阵A(就是 m= n) 的情况下,则 A是可逆的,当且仅当 A有秩 n(也就是 A有满秩)。

如果 B是任何 n× k矩阵,则 AB的秩最大为 A的秩和 B的秩的小者。即:秩(AB)≤min(秩(A),秩(B)) 推广到若干个矩阵的情况,就是:秩(A1A2...Am)≤min(秩(A1),秩(A2)。

秩(Am)) 证明:考虑矩阵的秩的线性映射的定义,令A、B对应的线性映射分别为 f和 g,则秩(AB)表示复合映射 f·g,它的象 Im f·g是 g的像 Im g在映射 f作用下的象。

参考资料:百度百科—秩

温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
第1个回答  推荐于2018-02-21
考虑秩的定义. 若有某个矩阵系数不为0, 则矩阵秩至少是1. 因此矩阵秩为0当且仅当矩阵系数全部是0, 或者说是0矩阵.本回答被网友采纳
第2个回答  2019-09-20
首先明白矩阵为0矩阵的意思就是矩阵任何一个元素均为0,同理一个矩阵只要不是0则矩阵必有至少一个元素不为0。
秩的定义通俗理解就是若A为3*3方阵,r(A)=2即秩为2代表A的三行或三列向量有两行或两列线性相关对于行列式A来说就是这两行或两列对应成比例,所以有效向量可以看作1再加上剩下的那一行或列就是2也就是矩阵的秩 。
以下是规范定义,对于n阶方阵A r(A)=k,即存在k阶子式不为0,对任意k+1阶子式全为0。k阶子式就是对A任取k行k列的交点元素组成的k阶新矩阵的行列式,同理k+1阶类似,当然k一定小于n。所以r(A)=0 k为0,必有k+1也就是1阶子式全为0即原来A中任意一个元素均为0再看开头矩阵A为0的定义就可以得出A必为0矩阵。
结论:矩阵A为0与矩阵的秩为0是充要条件,同理矩阵A不为0的充要条件为秩大于等于1,这个可以反证。
纯手打望采纳
第3个回答  2019-07-22

这个矩阵是零矩阵时,矩阵的秩为0;

这个矩阵是非零矩阵且每行成比例时,或者矩阵是只有一行或者只有一列时,矩阵的秩为1。

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数,通常表示为r(A),rk(A)或rank A。 

在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

扩展资料:

矩阵的秩的性质:

1、转置后秩不变;

2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵;

3、r(kA)=r(A),k不等于0;

4、r(A)=0 <=> A=0;

5、r(A+B)<=r(A)+r(B);

6、r(AB)<=min(r(A),r(B));

7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)。

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