也就是说：若lim f '(x)/F'(x)存在，则lim f(x)/F(x)=lim f '(x)/F'(x)，这就是洛必达法则。
反之，若lim f(x)/F(x)存在，lim f '(x)/F'(x)不一定存在。
反例：
lim[x→0] [x+x²sin(1/x)]/x
=lim[x→0] x/x + lim[x→0] x²sin(1/x)/x
=1+ lim[x→0] xsin(1/x)
=1 + 0
=1
但若分子分母求导，得：lim[x→0] [1+2xsin(1/x)-cos(1/x)]不存在
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可是为何lim f '(x)/F'(x)存在，lim f(x)/F(x)就存在啊？题目没说lim f(x)/F(x)存在啊。
追答这个是洛必达法则，在书上自己看洛必达法则的定理及证明。
追问我学过那个法则的啊，只有lim f(x)/F(x)推到lim f '(x)/F'(x)时前提是lim f '(x)/F'(x)必须存在，可是反过来没有说啊，洛必达法则没有涉及从lim f '(x)/F'(x)到lim f(x)/F(x)的过程（至少我们浙大版教材是这样的）
追答只有当lim f '(x)/F'(x)存在时，才有lim f(x)/F(x)=lim f '(x)/F'(x)，也就是说，当lim f '(x)/F'(x)存在时，必有lim f(x)/F(x)存在。
而当lim f(x)/F(x)存在时，lim f'(x)/F'(x)不一定存在，我已给出反例，这就说明是必要条件。
简要证明：
补充f(a)=0，F(a)=0，
lim[x→a] f(x)/F(x)
=lim[x→a] [f(x)-f(a)]/[F(x)-F(a)]
由Cauchy中值定理
=lim[ξ→a] f'(ξ)/F'(ξ)
由于lim f'(x)/F'(x)是存在
=lim[x→a] f'(x)/F'(x)
因此得：lim[x→a] f(x)/F(x)=lim[x→a] f'(x)/F'(x)，因此lim[x→a] f(x)/F(x)也存在。
呃，很感谢你回答了那么多。。。可是
你说
因此得：lim[x→a] f(x)/F(x)=lim[x→a] f'(x)/F'(x)，因此lim[x→a] f(x)/F(x)也存在。
为甚后半句就”因此“了？
如果这样可以，岂不是也可这么推：
lim[x→a] f'(x)/F'(x)=lim[ξ→a] f'(ξ)/F'(ξ)=lim[x→a] [f(x)-f(a)]/[F(x)-F(a)]=lim[x→a] f(x)/F(x)
只要lim[x→a] f(x)/F(x)存在，lim[x→a] f'(x)/F'(x)就存在？？
不可以这样推，x与ξ是不同的，x是连续变化的，而ξ不是连续变化的，因此ξ→a只是x→a的一个子列，子列极限存在不能推出整个极限存在。反之，整个极限存在可以推出子列极限存在。
其实你做为工科学生，不需要知道这些的，前面该推的都给你推了，反例也给你举了，明明lim[x→a] f(x)/F(x)存在不推不出lim[x→a] f'(x)/F'(x)存在，例子摆在那儿，不是明显的吗。