为什么用拉格朗日中值定理求得的那个中值一定是该区间内的最大值或最小值

Question

如题所述

Answer 1

此结论错误！
拉格朗日中值定理求得的那个中值，只是与两端点连接的弦平行的切线上的一个切点，而此类切点不只一个。它不一定是最值。追问

你看一下之前的回答我的追问中的那道题。我看的是利用拉格朗日解高考压轴题中有关斜率的问题，里面很多例题好像都是默认那个中值为最大或最小

Answer 2

不一定吧，要具体问题具体分析的追问

怎么分析？我看到的题目解法都是直接认定就是最值

追答

要不你发个题目上来看看？

追问

设函数f(x)=(x+1)*ln(x+1),若对所有的x>=0,都有f(x)>=ax成立，求a的取值范围。
答案是直接由拉格朗日中值定理得F(b )=f(x)-f(0)/x-0=f(x)/x,F(b)>F(0)=1,所以a<=1,
为什么f(x)/x的最小值就是那个中值呢？
谢谢

追答

根据拉格朗日中值定理，对任意x>0，存在b∈(0,x)，使得
f'(b)=[f(x)-f(0)]/(x-0)=f(x)/x>=a
因为f'(b)=1+ln(b+1)
所以a0，所以ln(b+1)>0
所以要确保对所有b，上述不等式都成立
则a<=1

追问

还能再深入一点吗？做点文字说明？

追答

已经很详细了哟，你哪一步没看明白呀？

追问

f'(b)=[f(x)-f(0)]/(x-0)=f(x)/x>=a这一步就一定默认f'(b)是f(x)/x的最小值，为什么？还有顺便你知不知道有哪些高等数学经常被用到高考压轴题中？我只知道拉格朗日

追答

这一步没有默认f'(b)是f(x)/x的最小值
根据题意，f(x)>=ax对x>=0都成立
所以f(x)/x>=a
即，存在b∈(0,x)使得f'(b)>=a

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