高斯曲率和平均曲率的几何意义如下：
高斯曲率和平均曲率是微积分和微分几何中的两个重要概念。它描述曲面形状的量，对于计算曲面的性质和应用有着重要的作用。
拓展资料：
平均曲率
是微分几何中一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。
主曲率
过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率，其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值Kmax，垂直于极大曲率面的曲率为极小值Kmin。这两个曲率属性为主曲率。他们代表着法曲率的极值
高斯曲率微分几何中
曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率κ1和κ2的乘积。它是曲率的内在度量，也即，它的值只依赖于曲面上的距离如何测量，而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。
微分几何曲面论基本定理的历史
微分几何的基本定理是关于曲面的曲率和曲面的拓扑性质的重要结果。它由德国数学家卡尔·高斯在1827年首次提出和证明。
在18世纪末19世纪初，欧洲的数学家们开始研究曲面的性质和曲率。法国数学家皮埃尔·路易·拉格朗日和让-巴普蒂斯特·约瑟夫·李约瑟在该领域做出了重要的贡献。然而，他们的研究主要集中在二维平面曲线上，而不是三维曲面。
在这个时期，高斯的研究对微分几何的发展产生了重大影响。他是第一个研究三维曲面的数学家之一，他提出了一种全面的方法来研究曲面的曲率和拓扑性质。高斯在1827年发表的论文《Disquisitiones-generales-circa-superficies-curvas》中，首次提出了曲面的基本定理。
高斯的基本定理指出，对于任何曲面，其总曲率等于曲面上的高斯曲率与平均曲率的乘积。这个定理表明了曲面上的曲率与曲面上的几何性质之间的关系，对于理解曲面的形状和性质具有重要意义。
高斯的研究对微分几何的发展产生了深远影响，并为后来的数学家提供了重要的方法和思路。他的基本定理不仅在微分几何的研究中起到了重要作用，也在物理学和工程学等领域得到了广泛应用。