极限的必要条件和充分条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

充分性：（已知左右极限存在且相等，证明极限存在）
设lim[x→x0+] f(x)=A，lim[x→x0-] f(x)=A
由lim[x→x0+] f(x)=A，则对于任意ε>0，存在δ1>0，当00，当 -δ2x0，则0<|x-x0|<δ≤δ1成立，
若x0，存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立
此时有：0
同理，此时有：-δ<x-x0<0 时，|f(x)-a|
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追答：
好评吧
追问：
那必要性呢？
追答：
按照严格的极限定义证明如下

证明

x趋于x0时f(x)极限存在等价于，对于任意给出的一个正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε会成立

左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时,f(x)-A<ε

右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时,A-f(x)<ε

所以左右极限都存在时，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时

-εx0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等
追答：
这下可以了吧，亲