一元二次函数的性质如下：
1、开口方向：二次项系数a决定函数的开口方向。当a>0时，函数开口向上；当a<0时，函数开口向下。顶点：二次函数的顶点坐标为（-b/2a，（4ac-b²）/4a）。当b=0时，函数图像关于y轴对称；当a=0时，函数图像与x轴平行；当c=0时，函数图像经过原点。
2、判别式：判别式Δ=b²-4ac。当Δ>0时，函数有两个实数根；当Δ=0时，函数有两个相等的实数根；当Δ<0时，函数没有实数根。对称性：二次函数的对称轴是x=-b/2a。如果a>0，那么在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。
3、区间上的单调性：如果a>0，那么函数在区间（-∞，-b/2a）上是单调递减的，在区间（-b/2a，+∞）上是单调递增的；如果a<0，那么函数在区间（-∞，-b/2a）上是单调递增的，在区间（-b/2a，+∞）上是单调递减的。
一元二次函数的价值
1、代数和方程，一元二次函数是代数中一个基本的函数形式，它可以用来表示很多实际问题中的变量关系。通过求解一元二次方程，我们可以得到问题的解，这些解可能对应着某种实际意义。
2、几何和图形，一元二次函数还可以用来描述几何图形中的一些性质。例如，二次函数y=ax² +bx+c的图像是一个抛物线，这个抛物线的形状和性质可以通过系数a、b、c来控制。在几何学中，抛物线是一种非常重要的曲线，它在光学、工程、建筑等领域都有广泛的应用。
3、统计学和经济学的应用，一元二次函数在统计学和经济学的应用中也有重要的价值。例如，在统计学中，二次回归模型被用来描述一个变量和一个或多个自变量之间的非线性关系。在经济学的应用中，一元二次函数也被用来描述一些经济现象，如价格和需求之间的关系等。
4、工程和科技的应用，一元二次函数在工程和科技领域也有广泛的应用。例如，在机械工程中，二次函数的图像经常被用来描述物体的运动轨迹，这些轨迹可能对应着机器人的移动路径或者机械臂的运动等。