用良序原理证明log23是无理数？

Question

如题所述

Answer 1

要证明$\log_2 3$是无理数，可以采用反证法，即假设$\log_2 3$是有理数，可以表示为$\log_2 3=\frac{p}{q}$，其中$p$和$q$是正整数，且$p$和$q$互质。
根据对数的定义，$\log_2 3=\frac{p}{q}$可以转化为$2^{\frac{p}{q}}=3$。
将等式两边都取$q$次方，得到$2^p=3^q$。
这个等式表明，2的整数次幂等于3的整数次幂。这是不可能的，因为2和3是质数，它们没有公因数，所以它们的整数次幂也不可能相等。这与假设$\log_2 3$是有理数相矛盾。
因此，假设不成立，即$\log_2 3$是无理数。