高等数学题,求助!速度求!大神在哪里?????要详细过程，要图

Question

如题所述

Answer 1

你的第一步是对的
接下来对给出的方程取u=v代入得到：
f'_u(u,u) + f'_u(u,u) = u^2
也就是说
df/du (u,u) = u^2
然后你取u=x再代入你写出来的式子就是答案了：
-2e^{-2x}f(x,x) + e^{-2x} x^2追问

很感谢你对我的问题的解答，可是
y’(x)=-2e^(-2x)f(x,x)+e^(-2x)*0.5x^2，
后面该怎么做呢？
求满足的方程里要含有F(X,X)吗，怎么解方程呢？
谢谢回答啊，我会加分的

追答

题目问的是y满足的方程，你结合
y = e^{-2x}f(x,x)

y' = -2e^{-2x}f(x,x) + e^{-2x} x^2
就可以消掉f(x,x)得到：
y'(x) = -2y(x) + e^{-2x} x^2
这就是你的最终答案了

Answer 2

f(x,x)对x的求导看作是f(u,v)与u=x,v=x复合而成的函数的导数，所以f(x,x)对x的导数是fu+fv=uv=x^2。
又f(x,x)=y×e^(2x)，代入，y满足一个微分方程y'=-2y+x^2*e^(-2x)，即y'+2y=x^2*e^(2x)。

这是一个一阶非齐次线性微分方程。先求解齐次线性方程y'+2y=0，分离变量dy/y=-2dx，两边积分lny=-2x+lnC，所以y=C*e^(-2x)。设非齐次线性方程的解是y=C(x)*e^(-2x)，代入得到C'(x)=x^2，所以C(x)=1/3*x^3+C。所以y=e^(-2x)[1/3*x^3+C]