数学中否命题与命题的否定有什么区别

Question

请问数学中否命题与命题的否定有什么区别？

Answer 1

一个命题与它的否定形式是完全对立的。两者之间有且只有一个成立。
数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。
怎样得到一个命题的否定形式？如果你学了数理逻辑就好理解了，现在只能这样理解：
原命题：所有自然数的平方都是正数
原命题的标准形式：任意x，（若x是自然数，则x²是正数）
“任意”是限定词，“x是自然数”是条件，“x²是正数”是结论。否定一个命题，需要同时否定它的限定词和结论。限定词“任意”和“存在”互为否定。
否定形式：不是（任意x，（若x是自然数，则x²是正数））＝存在x，（若x是自然数，则x²不是正数）
换一个说法就是：至少有一个自然数的平方不是正数

而一个命题的否命题用得较少。命题是否成立，与它的否命题是否成立，两者没有关系。
得到一个问题的否命题很容易，把限定词，条件，结论全部否定就可以了。
原命题：所有自然数的平方都是正数
原命题的标准形式：任意x，（若x是自然数，则x²是正数）
否命题：存在x，（若x不是自然数，则x²不是正数）
换一个说法就是：存在某个非自然数，其平方不是正数
此外，对于逆命题，是否定限定词，然后交换条件和结论
题目中的命题的逆命题就是：存在x，（若x²是正数，则x是自然数）

逆否命题，就是逆命题的否命题，或者否命题的逆命题，就是限定词不变，否定条件和结论并交换。
题目中的命题的逆否命题就是：任意x，（若x²不是正数，则x不是自然数）

Answer 2

可以这么解释：
命题由题设与结论两个部分构成。
当题设不变，结论否定时，称为命题的否定。例如：对顶角相等，变为，对顶角不相等。
当题设与结论同时否定时，称为否命题。例如：对顶角相等，变为：不是对顶角就不相等。

Answer 3

命题的否定，只否定结论；
否命题，条件结论同时否定；

Answer 4

否命题 否定结论和条件
命题的否定 只否定结论