如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点,AB为腰在第三象限作等腰Rt三角形ABC,求C点的坐标 如

Question

如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点,AB为腰在第三象限作等腰Rt三角形ABC,求C点的坐标 如图2，P为y负半轴上的一个动点，

Answer 1

解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，
∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°
则∠MAC=∠OBA
在△MAC和△OBA中

则△MAC≌△OBA（AAS）
则CM=OA=2，MA=OB=4，则点C的坐标为（-6，-2）；

（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP-DE=PQ，∠APO+∠QPD=90°

∠APO+∠OAP=90°，则∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PDQ中

则△AOP≌△PDQ（AAS）
∴OP-DE=PQ=OA=2；

（3）结论②是正确的，m+n=-4，
如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，

则FS=FT=2，∠FHS=∠HFT=∠FGT，
在△FSH和△FTG中

则△FSH≌△FTG（AAS）
则GT=HS，
又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（-2，-2），
∴OT═OS=2，OG=|m|=-m，OH=n，
∴GT=OG-OT=-m-2，HS=OH+OS=n+2，
则-2-m=n+2，
则m+n=-4．

Answer 2

解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，
∵∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
则∠MAC=∠OBA，
在△MAC和△OBA中
{∠CMA=∠AOB=90°∠MAC=∠OBAAC=AB
∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM=OA=2，MA=OB=4，
∴OM=OA+AM=2+4=6，
∴点C的坐标为（-6，-2）．
（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE=OQ
∴OP-DE=OP-OQ=PQ，
∵∠APO+∠QPD=90°，
∠APO+∠OAP=90°，
∴∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PQD中，
{∠AOP=PQD=90°∠OAP=∠QPDAP=PD，
∴△AOP≌△PQD（AAS）．
∴PQ=OA=2．
即OP-DE=2．

Answer 3

∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°
则∠MAC=∠OBA
在△MAC和△OBA中∠CMA=∠AOB=90°∠MAC=∠OBAAC=AB
则△MAC≌△OBA（AAS）
则CM=OA=2，MA=OB=4，则点C的坐标为（-6，-2）；

（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP-DE=PQ，∠APO+∠QPD=90°
∠APO+∠OAP=90°，则∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PDQ中∠AOP=∠PQD=90°∠QPD=∠OAPAP=PD
则△AOP≌△PDQ（AAS）
∴OP-DE=PQ=OA=2；

（3）结论②是正确的，m+n=-4，
如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，
则FS=FT=2，∠FHS=∠HFT=∠FGT，
在△FSH和△FTG中∠FSH=∠FTG=90°∠FHS=∠FGTFS=FT
则△FSH≌△FTG（AAS）
则GT=HS，
又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（-2，-2），
∴OT═OS=2，OG=|m|=-m，OH=n，
∴GT=OG-OT=-m-2，HS=OH+OS=n+2，
则-2-m=n+2，
则m+n=-4．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质；熟记三角形全等的求法，尤其是Rt△，数形结合是重要的解题方法，同学们一定要学会应用．