请问一道考研数学线性方程组的题：证明任意b，AX=B总有解的充要条件是|A|不等于零

Question

充分性我会证，必要性的证明时解析书上说r(a1,a2,…,an)>=r(e1,e2,…,en)=n.所以r(A)=n所以|A|不等于零。可是我有个疑问，Ax=b有解不是有两种情况吗？一种有唯一解，矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于n，另一种是矩阵的秩等于等于增广矩阵的秩小于n。前一种是|A|不等于0，后一种是|A|=0？？？那怎么解释只有|A|不等于零这一种情况？求指导要吐血了

Answer 1

这不矛盾
事实上, 此时Ax=b有唯一解.
A是方阵的前提下:
|A|≠0(r(A)=n), 方程组Ax=b有唯一解
|A|=0(r(A)<n), 方程组Ax=b无解或无穷多解, 等价于至少存在一个向量b不能由A的列向量线性表示

对任意b, Ax=b总有解
<=> 任意b可由A的列向量 a1,...,an 线性表示
<=> a1,...,an 与 e1,e2,…,en 等价
<=> r(a1,...,an) = r(e1,e2,…,en) = n
<=> r(A) = n

Answer 2

扎实实。数学必须要做题，题目千变万化，必须从多种多样的习题中才能巩固每个知识点。

Answer 3

哎，早知道有专家在场，我就不凑热闹了

Answer 4

打算速度等等等等等等等等等等