设A与B都是n阶方阵。证明:如果AB=O，那么秩A+秩B≤n。

如题所述

推荐答案 2012-12-31

n阶矩阵乘积的秩有不等式
r(AB) ≥ r(A)+r(B)-n
AB = 0, 即有r(AB) = 0, 代入即得.

还有一种想法, B的列向量都是线性方程组AX = 0的解.
于是AX = 0解空间的维数n-r(A)应该 ≥ B的列秩r(B).
于是r(A)+r(B) ≤ n.追问

不太明白，如何证明这道题？

追答

r(A)表示A的秩. 如果学过不等式r(A)+r(B)-n ≤ r(AB)就直接写
∵AB = 0,
∴r(A)+r(B)-n ≤ r(AB) = 0,

∴r(A)+r(B) ≤ n.

如果没学过, 就用下面的方法:
∵AB = 0,

∴B的列向量都是线性方程组AX = 0的解.

而AX = 0的基础解系有n-r(A)个向量, B的列向量被它们线性表出.
∴r(B) ≤ n-r(A),

∴r(A)+r(B) ≤ n.

来自：求助得到的回答

温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考

当前网址：http://88.wendadaohang.com/zd/VMggKBBVt.html

相似回答

设A,B都是n阶方阵,且AB=0,证明R(A)+R(B)小于等于n答：解：方法1)用秩的不等式r(A)+r(B)-n<= r(AB)因为AB=0,所以r(AB)=0r(A)+r(B)<=n方法2)令B中任意列向量为(x1,x2,...,xn)^T,A=(a1,a2,...,an),则B可由齐次线性方程组AX=O的基础解系任意组合，r(B)<=基础解系中解的个数<=n-r(A),即r(A)+r(B)<=n.

设A,B为n阶方阵,且AB=0,证明:R(A)+R(B)小于等于n答：因为AB＝0，所以矩阵B的列向量都是线性方程组AX=0的解；则矩阵B的列向量组的秩，不大于方程组AX=0的基础解系的个数，也就是说矩阵B的列向量组可以由AX=0的基础解系线性表示，所以R(B)<=n-R(A)，故R(A)+R(B)小于等于n。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。

设A,B都是n阶方阵,且AB=0,证明r(A)+r(B)<=n答：由AB=0 得知B的列向量，都是方程组AX=0的解则B列向量组的秩，不大于方程组AX=0的基础解系的个数，即n-r(A)即r(B)<= n-r(A)因此 r(A)+r(B)<=n

设A,B为n阶矩阵,如果AB=0,那么秩(A)+秩(B)≤n答：知识点: 若向量组A可由向量组B线性表示, 则 r(A) <= r(B)B的列向量可由AX=0的基础解系线性表示所以 B的列秩 = r(B) <= 基础解系的秩 = 基础解系所含向量个数 n-r(A)

设A,B都是n阶方阵,且AB=0,证明R(A)+R(B)小于等于n答：方法1)用秩的不等式r(A)+r(B)-n

请教一道高数题……若A,B均为n阶方阵,AB=O,证明,r(A)+r(B)≤n ...答：βn（Ⅰ）是齐次方程组AX=0解向量组若r（A）=n,则AX=0只有零解,B=0,r（B）=0=n-r（A）；若r（A）=r＜n,X1,X2,…,X（n-r）（Ⅱ）是AX=0的一个基础解系,则（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出,r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）.而r（Ⅰ）=B的列秩=r（B）,秩（Ⅱ）=n-r（A）.综上,r(A...

设A,B为N阶方阵,且AB=0,证明r(a)+r(b)<=n答：考虑方程组Ax=0，基础解系为e1，e2，...ek，k=n--r(A)。注意到AB=0等价于Abi=0,1<=i<=n，其中bi是B的第i列，因此bi都可以用基础解系线性表示，如r(B)不超过基础解系的秩=k，即r(B)<=k=n--r(A)，于是 r(A)+r(B)<=n。

A,B是n阶非零矩阵,AB=0,A的秩加上B的秩小于等于n成立吗答：成立。定理：如果AB=0，则秩(A)+秩(B)≤n 证明：将矩阵B的列向量记为Bi ∵AB=0 ∴ABi=0 ∴Bi为Ax=0的解 ∵Ax=0的基础解系含有n-秩(A)个线性无关的解 ∴秩(B)≤n-秩(A)即秩(A)+秩(B)≤n

大家正在搜

设A和B都为n阶方阵设AB为n阶方阵 A不等于0 设n阶方阵A与B有相同的特征值设A和B都是n阶矩阵设B是元素为2的n阶方阵若n阶方阵A与B相似若n阶方阵A与B等价 n阶方阵A与B等价的条件已知n阶方阵A与B相似

设A与B都是n阶方阵。证明:如果AB=O，那么 秩A+秩B≤n。

设A与B都是n阶方阵。证明:如果AB=O，那么秩A+秩B≤n。