数列an的通项公式为an=(-1)^×(2n-1)/2^n,则此数列的前n项和等于？

Question

如题所述

Answer 1

解：
an=(-1)ⁿ×(2n-1)/2ⁿ=(2n-1)/(-2)ⁿ=2n/(-2)ⁿ -1/(-2)ⁿ
Sn=a1+a2+...+an=2×[1/(-2)+2/(-2)²+3/(-2)³+...+n/(-2)ⁿ]-[1/(-2)+1/(-2)²+...+1/(-2)ⁿ]
令Cn=1/(-2)+2/(-2)²+3/(-2)³+...+n/(-2)ⁿ
则Cn/(-2)=1/(-2)²+2/(-2)³+...+(n-1)/(-2)ⁿ+n/(-2)^(n+1)
Cn- Cn/(-2)=(3/2)Cn=1/(-2)+1/(-2)²+...+1/(-2)ⁿ-n/(-2)^(n+1)
Cn=(2/3)[1/(-2)+1/(-2)²+...+1/(-2)ⁿ-n/(-2)^(n+1)]
Sn=2Cn-[1/(-2)+1/(-2)²+...+1/(-2)ⁿ]
=(4/3)[1/(-2)+1/(-2)²+...+1/(-2)ⁿ -n/(-2)^(n+1)]-[1/(-2)+1/(-2)²+...+1/(-2)ⁿ]
=(1/3)[1/(-2)+1/(-2)²+...+1/(-2)ⁿ] -(4/3)[n/(-2)^(n+1)]
=(1/3)(-1/2)[1-1/(-2)ⁿ]/[1-(-1/2)] -(4/3)[n/(-2)^(n+1)]
=(-1/9)[1-1/(-2)ⁿ] -n/[3×(-2)^(n-1)]
=(6n+1)/[9×(-2)ⁿ] -1/9

注意：(-1)ⁿ放在分子还是放在分母上，对计算没有影响的，因此可以放到分母上，变成(-2)ⁿ，然后就可以用等比数列求和公式、错位相减法了。

Answer 2

　　　　解：a(n+1)-a(n)=((-1/2)^(n+1))(2(n+1)-1)-((-1/2)^n)(2n-1)
　　 =((-1/2)^n)((1/2)-3n)
　　 =(3/2)((-1/2)^n)((1/3)-2n)
　　 =(3/2)((-1/2)^n)(-(2n-1)-(2/3))
　　 =(-3/2)a(n)-((-1/2)^n)
　　对a(n)-a(n-1)进行累加，得：
　　∑(a(n+1)-a(n))=a(n+1)-a(1)=∑((-3/2)a(n)-((-1/2)^n)=∑(-3/2)a(n)-∑(-1/2)^n)
　　设{a(n)}前n项和为Sn，则：
　　a(n+1)-a(1)=(-3/2)S(n)-∑((-1/2)^n)
　　 =(-3/2)S(n)-(1/3)((-1/2)^n-1)
　　S(n)=(-2/3)(a(n+1)-a(1)+(1/3)((-1/2)^n-1))
　 　=(-2/3)(((-1/2)^(n+1))(2n+1)+(1/2)+(1/3)((-1/2)^n-1))
　　 =((-1/2)^n)((2/3)n+(1/9))-(2/3)

　　还有一种方法叫错位相减法，个人认为错位相减这种方法太麻烦了，所以不在这里说了，给个网址http://wenku.baidu.com/view/0fd01e64caaedd3383c4d358.html 第5页。只不过那里给出的例子是求(1/2)^n)(2n-1)的前项和。
　　
　　如果有问题的话，欢迎楼主提问。
　　
　　希望我的回答对您有帮助:）追问

错位相减是太麻烦就想发上来问问会不会有什么灵活的方法……
然后∑这个符号还没学，亲的回答也不怎么懂……
这种题目的运算过程打字打出来也是很麻烦的（所以辛苦了><），所以想说问问亲的思路大概是什么？

追答

∑指的是求和，在这里是求数列1到n项的和，因为直接打太麻烦，所以在这里偷了个懒。
我的基本思路是这样的：
1先将a(n+1)-a(n)化成ka(n)+b(n)的形式，b(n)是容易求和的数列；
2然后a(n+1)-a(n)进行累加，即(a(n+1)-a(n))+ (a(n)-a(n-1))+···+(a(2)-a(1))=a(n+1)-a(1)
等式右边为k(a(n)+a(n-1)+···+a(1))+(b(n)+b(n-1)+···+b(1))
设a(n)的前n项和为Sn，b(n)的前n项和为Tn，即a(n+1)-a(1)=kSn+Tn
3将Sn提出来，得Sn=(a(n+1)-a(1)-Tn)/k

说白了就是把前两项求差，把得出的结果进行适当的变换，再将得出的结果叠加，使叠加的结果含
an的前n项和，再将an的前n项和求出即可。

追问次数过多容易扣经验值，所以下次追问可以打在回答下面的评论里。