例二求解详细步骤线性代数第五版64页，特别我想知道为什么有(A,E)这个步骤

Question

如题所述

Answer 1

这个是求一个矩阵的逆矩阵的一个典型的方法，一定要记住。
有（A，E）这个步骤就是为了要证明A可逆，并求A的逆矩阵。
（A,E)就是将矩阵A添上一个三阶的单位矩阵。
对A，E拼起来的矩阵实行一个初等行变换，就是等于左乘上一个可逆矩阵P（这个定理在同济五版《线性代数》第61页，定理1的(i)）。
所以p（A,E）=（F，P）（用式1表示这个等式）即矩阵（A,E)经过初等行变换变成（F,P），
在式1中用p乘进去，可得PA=F，PE=P，所以如果F是单位矩阵，那么A就可逆（由矩阵可逆的定义得，第43页定义7），并且p就是A的逆矩阵。
这样通过将矩阵（A,E)经过初等行变换变成（F,P），一举两得，如果F=E,那么既证明了A可逆，又求出了A的逆矩阵P。
如果还有不懂的话，就再追问吧。