齐次线性方程组和非齐次线性方程组怎么判断有唯一解,无解,无穷多解,其系数行列式与解的关系。谢谢

如题所述

r(A)=n时,齐次线性方程组只有零解,r(A)<n时,有无穷解。

r(A|b)不等于r(A)时,非齐次线性无解,r(A|b)=r(A)<n时,无穷解,等于n时,唯一解。

补充:当A为n阶方阵且可逆时,非齐次线性方程组的唯一解可由克拉默法则解得:x(j)=|Aj|/|A|,|Aj|为用b代替|A|中第j列所得到的行列式

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤:

(1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B),则方程组无解。

(2)若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形。

(3)设R(A)=R(B)=r;把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示。

扩展资料:

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。(rank(A)表示A的秩)

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解(η=ζ+η*)

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后,不全为零的行数r(即矩阵的秩)小于等于m(矩阵的行数),若m<n,则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元,这个n-r个自由变元可取任意取值,从而原方程组有非零解(无穷多个解)。

参考资料来源:百度百科——非齐次线性方程组

参考资料来源:百度百科——齐次线性方程组

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第1个回答  2020-08-22
①齐次:分为只有零解和非零解
非零解:n(未知数)<n(方程数)
[此时有无穷多解]
只有零解:其它情况
无解:不存在无解情况
②非齐次:
无解:n(未知数)>n(方程数)
无穷多解:R(A)=R(增广)<n(未知数)
唯一解:R(A)=R(增广)=n(未知)
③对于nxn阶矩阵
只有零解:A满秩
有非零解:A不满秩,detA=0成立
第2个回答  2019-12-21
齐次线性方程组:常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数,即未知数的数量大于所给方程组数),则齐次线性方程组有非零解,否则为全零解。
第3个回答  推荐于2017-11-23
r(A)=n时,齐次线性方程组只有零解,r(A)<n时,有无穷解。r(A|b)不等于r(A)时,非齐次线性无解,r(A|b)=r(A)<n时,无穷解,等于n时,唯一解。补充:当A为n阶方阵且可逆时,非齐次线性方程组的唯一解可由克拉默法则解得:x(j)=|Aj|/|A|,|Aj|为用b代替|A|中第j列所得到的行列式。本回答被提问者采纳
第4个回答  2019-06-24

1、r(A)=n时,齐次线性方程组Ax=0只有零解,r(A)<n时,齐次线性方程组Ax=0有无穷解,其中r(A)表示矩阵A的秩。

2、r(A,b)不等于r(A)时,非齐次线性Ax=b无解;r(A,b)=r(A),且小于n时,非齐次线性Ax=b有无穷解;r(A,b)=r(A)=n时,非齐次线性Ax=b有唯一解。

3、行列式与解的关系:n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地,方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。

4、非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解(η=ζ+η*)

扩展资料:

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤:

1、对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B),则方程组无解。

2、若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形。

3、设R(A)=R(B)=r;把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示,并令自由未知数分别等于

即可写出含n-r个参数的通解。

参考资料来源:百度百科——非齐次线性方程组

参考资料来源:百度百科——齐次线性方程组

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