abc的
外接圆圆心为o。连接oa、ob。
∵oa=ob=r（同圆内所有半径都相等）
∴∠bao=∠abo（等边对等角）
∴∠bao+∠o/2=π/2
rad（三角形内角和定理）
又∵∠c=∠o/2（
圆周角定理）
∴∠bao+∠c=π/2
rad（等量替代）
由
正弦定理（只限于前三项）得
ab/sino=r/sin∠bao
又∵sino=sin(2c)=2sinccosc（
二倍角公式）
sin∠bao=cosc（
诱导公式）
∴ab/(2sinccosc)=r/cosc（代入）
若cosc≠0，
则ab/(2sinc)=r
ab/sinc=2r
若cosc=0，则c=π/2
rad
则ab/sinc=ab/1=ab
此时o在ab的中点（直角
三角形外心为斜边中点）
∴ab=2r，同样有ab/sinc=2r
总之，无论cosc是否为0，均有ab/sinc=2r
最终得到完整的正弦定理：
a/sina=b/sinb=c/sinc=2r
（r为外接圆半径）