矩阵的秩表现了矩阵的什么特性？

Question

矩阵的秩表现了矩阵的什么特性？低秩说明了什么？

Answer 1

　矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。 　　设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。 　　定义1. 在m´n矩阵A中，任意决定k行和k列 (1£k£min{m,n}) 交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。 　　例如，在阶梯形矩阵 中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。 　　定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 　　的秩，记作rA，或rankA。 　　特别规定零矩阵的秩为零。 　　显然rA≤min(m,n) 易得： 　　若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。 　　由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)¹ 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。 　　由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。 低秩说明 极大无关组中向量的个数少或A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数小