整理一下读大学时的一些笔记摘抄，力求全面，花了很多时间。但还显得很凌乱...唯一希望对大家有所帮助。
一、数系的扩张分类
减法 除法 极限 代数方程
自然数→整数→有理数→实数 → 复数→哈密尔顿四元数→凯来八元数
分数 无理数 虚数
二、我们的学习的数系分类是与数系扩张的历史不完全一致的。
原始人类清点数目时，只知道1，2，3等，当数目再大点的时候，只好用“许多”来表示。由此产生了自然数。
在负数产生之前，早就有了无理数的概念。
在实数理论还没严密的时候，就已经产生了虚数的概念。
三、自然数（此处指不含零的自然数）
1。皮亚诺公理：
①1是自然数；
②每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等）；
③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c；
④1不是任何自然数的后继数；
⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。
2。满足上面5条公理的数的集合，叫自然数集，记作N。
N中的每个元素叫自然数。
3。自然数的运算定义
满足 a+1=a'，a+b'=（a+b）' 的运算“+”叫自然数的加法。
满足 a*1=a'，a*b'=a*b+a 的运算“*”叫自然数的乘法。
4。例题：
求证：2+3=5
证明：因为2+1=2'，2'=3
所以2+1=3
因为2+2=2+1'=（2+1）'=3'，3'=4
所以2+2=4
因为2+3=2+2'=（2+2）'=4'，4'=5
所以2+3=5 （证毕）
ps：联想到很多人动不动就说自己证明了“歌德巴赫猜想：一加一等于2”，真是有点让人啼笑皆非！
5。自然数运算律：
加法交换律：a+b=b+a
乘法交换律：a*b=b*a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)
乘法对加法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c
以上的运算律都是可以证明成立的，而不是想当然地，自然而然地就成立了的。
（待续）
从实数到复数，偏序结构被破坏了。不是阿基米德序了，不能规定大小
而从复数到四元数，交换率没了，换言之，a*b不等于b*a了
再到八元数，连结合率也没了。。。
数的范围越来越大，性质就越来越少了。
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