为什么这个定积分不能用分部积分法，我哪错了？

Question

为什么我用换元法成功了，分部积分法失败了

Answer 1

不是不能用分部积分法，而是你运算有错：d√(a²-x²)=-2x/[2√(a²-x²)]dx=-[x/√(a²-x²)]dx;
∴∫<0,a>[x²/√(a²-x²)]dx=-∫xd√(a²-x²)=-[x√(a²-x²)]<0,a>+∫<0,a>√(a²-x²)dx
=∫<0,a>√(a²-x²)dx【令x=asinθ，则dθ=acosθdθ，x=0时θ=0；x=a时θ=π/2】
=∫<0,π/2>[√(a²-a²sin²θ)]•acosθdθ=a²∫<0,π/2>cos²θdθ
=(a²/2)∫<0,π/2>(1+cos2θ)dθ=(a²/2)[θ+(1/2)sin2θ]<0,π/2>=πa²/4；

Answer 2

分部积分可不是你写的那个样子。

Answer 3

∫(0->a) x^2/√(a^2-x^2) dx
=-∫(0->a) xd√(a^2-x^2)
=- [x.√(a^2-x^2) ]|(0->a) +∫(0->a) √(a^2-x^2) dx
=0 + (1/4)πa^2
=(1/4)πa^2

Answer 4

第一步“凑积分”变形有误。应该是“x²dx/√(a²-x²)=-xd[√(a²-x²)]”才对。