大一高等数学题,请高手帮忙解答~~~

Question

设f(x,y)=In(x- ) (其中x>y>0),求f(x+y,x-y)=? 设z=z(x,y)由方程e^-xy-2z+e^z=0确定，求 =？ 交换积分次序 求 微分方程 x +yy’ =0 通解 求 微分方程 y’+ytanx-cosx =0的通解 求 微分方程 xy”+3y’ =0的通解 求 微分方程 x^2 *y’+xy=y^2 满足初始条件y(1)=1的特解。

Answer 1

1.
设y=2/x^2,dy=?
解：dy=2[x^(-2)]′dx=-4x^(-1)dx=-(4/x)dx
2、说明下列函数在指定点处
是否连续？若不连续，是
否可补？
（1）f(x)=(x2-x-2)/(x-2);在点x=2处
解：f(x)=(x^2-x-2)/(x-2)=(x-2)(x+1)/(x-2)=x+1
因此x=2是其可去间断点。
2）f(x)=(1+xsinx)/x在x=0处是否连续？
解：由于f(0)无定义，而x→0lim(1+xsinx)/x
=x→0lim[(1/x)+sinx]=∞
∴x=0是该函数的无穷型间断点，是不可补的间断点。
设
y=x^(2/3)
求dy=?
解：dy=(2/3)x^(-1/3)dx
设y=2x^3+3x;求y''=?
解：y′=6x^2+3
y″=12x
y=ex^(e-x),求y'=？
解：两边取对数，得：
lny=1+(e-x)lnx
两边取导数，得：
y′/
y=-lnx+(e-x)/x
∴y′=y[(-lnx)+(e-x)/x]=[ex^(e-x)][(-lnx)+(e-x)/x]
3、说明下列分段函数是否连续？若不连续，是否可补？
（1）f(x)=sin2x/x；（当x<0）
f(x)=2;(当x=0)
f(x)=（X2+2x）/x
(当x>0)
解：由于x→0-limf(x)=x→0-lim(sin2x/x)
=
x→0-lim(2x/x)=2
x→0+limf(x)=
x→0+lim(x^2+2x)/x
=
x→0+lim(x+2)=2
∴x→0limf(x)=f(0)=2
故该函数在x=0处连续。
y=ln(1+x2)
,求y'=？
解：y′=2x/(1+x^2)
y=e^(2x),求y''=？
解：y′=2e^(2x)
y″=4e^(2x).
指出下列函数的间断点，说明是否可补？
f(x)=sin3x/x
解：∵x→0limf(x)=
x→0limsin3x/x=x→0lim3x/x=3
∴x=3
是该函数的可补间断点。
f(x)=2x-1
（当x≤1）
f(x)=(X2
–1)/(x-1)(当x>1)
解：当x>1时，f(x)=(x^2-1)/(x-1)=x+1
故x→1+limf(x)=
x→1+lim(x+1)=2
而f(1)=2-1=1,x→1-limf(x)=
x→1-lim(2x-1)=1
故x→1limf(x)不存在，即x=1是该函数的不可补间断点。