ä¾å¦æ¬é¢ä¸å®ç§¯å计ç®è¿ç¨å¦ä¸ï¼
â«ï¼1-3xï¼^6dx
=(-1/3)â«(1-3x)^6d(1-3x)
=-1/3*(1-3x)^7*(1/7)+C
=-1/21*ï¼1-3xï¼^7+Cã
ä¾å¦â«(sinx)^4dx
=â«[(1/2)(1-cos2x]^2dx
=(1/4)â«[1-2cos2x+(cos2x)^2]dx
=(1/4)â«[1-2cos2x+(1/2)(1+cos4x)]dx
=(3/8)â«dx-(1/2)â«cos2xdx+(1/8)â«cos4xdx
=(3/8)â«dx-(1/4)â«cos2xd2x+(1/32)â«cos4xd4x
=(3/8)x-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+Cã
ä¾å¦â«cscxdx
=â«1/sinxdx
=â«1/[2sin(x/2)cos(x/2)]dxï¼ä¸¤åè§å ¬å¼
=â«1/[sin(x/2)cos(x/2)]d(x/2)
=â«1/tan(x/2)*sec²(x/2)d(x/2)
=â«1/tan(x/2)d[tan(x/2)]ï¼æ³¨â«sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C
=ln|tan(x/2)|+Cã
回答如下:
令x=tant,t∈(-π/2,π/2)
√(1+x²)=sect,dx=sec²tdt
∫√(1+x²) dx
=∫sec³t dt
=∫sect d(tant)
=sect*tant-∫tant d(sect)
=sect*tant-∫tan²t*sectdt
=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt
=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt
∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)
=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C
原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C
不定积分的意义:
如果f(x)在区间I上有原函数,即有一个函数F(x)使对任意x∈I,都有F'(x)=f(x),那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。即对任何常数C,函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I,G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数,所以G(x)-F(x)=C’。