单连/多连通域
定义：复平面上的一个区域B ，如果B内的任何简单闭曲线的内部总在B内，就称B为单连通域；非单连通域称为多连通域。
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似 2. 映射的概念——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作： 复变函数的几何意义是一个映射（变换）
在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.
3. 反函数或逆映射
定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*
1. 函数的极限
几何意义: 当变点z一旦进入z0 的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中
(1) 意义中Z→Z0的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高.
(2) A是复数.
(3) 若f(z)在Z0处有极限,其极限是唯一的.
2. 运算性质 3.函数的连续性
导数定义 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f (z)在区域D内可导。 注：(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。
(2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)
例1：如图所示：
2.求导公式与法则----实函数中求导法则的推广① 常数的导数 c=(a+ib)=0.
② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
证明如图所示： ③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则有如图所示： ④复合函数的导数 ⑤ 反函数的导数 如图所示： 例2,3,4如图所示：
注：(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,
但在复变函数中，却轻而易举。
可导与连续
若 w=f (z) 在点 z0 处可导 ，则w=f (z) 点 z0 处连续.证明如图所示： 可微定义:如图所示 ：
1. 有向曲线：如图所示：
2. 积分的定义：如图所示：
3. 积分存在的条件及其计算法：
定理：如图所示：
证明：如图所示：
例题：如图册所示：
4. 积分性质
由积分定义得：如图所示：
柯西积分定理
（1）实变函数的线积分: 如图所示：
（2）柯西定理的来由与基本定理： （3）原函数与不定积分
推论：如图所示：
定理2 ：如图所示：
（4）原函数的定义：如图所示：
不定积分与积分计算公式：如图所示：
实例：如图册所示：
（5）小结 求积分的方法
解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f (z)在z0解析；如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
注：(1) w=f (z) 在 D 内解析〈≡〉在D内可导。
(2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时)均是D内的解析函数。见图：
定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值集合∈G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处解析。
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
问题 如何判断函数的解析性呢？我们将从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。 见图： 定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义，则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足Cauchy-Riemann方程，见图： 证明“=〉”见图集：
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Riemann方程见图：
注：1.由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.
2.利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
推论：见图
解析函数退化为常数的几个充分条件：
(a) 函数在区域内解析且导数恒为零；
(b) 解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数；
(c) 解析函数的共轭在区域内解析。
