5分高中数列题求和

Question

如题所述

Answer 1

aSn=a+3a^2+5a^3+...+(2n-3)a^(n-1)+(2n-1)a^n
又因为Sn=1+3a+5a^2+...+(2n-1)a^(n-1)
下式减上式，可得(1-a)Sn=1+2a+2a^2+...+2a^(n-1)-(2n-1)a^n
若a=1，则Sn=1+3+5+...+(2n-1)=n^2
若a≠1，则(1-a)Sn=1+2[a+a^2+...+a^(n-1)]-(2n-1)a^n
=2a[1-a^(n-1)]/(1-a)+1-(2n-1)a^n
所以Sn=2a[1-a^(n-1)]/[(1-a)^2]+[1-(2n-1)a^n]/(1-a)
综上所述，Sn=n^2，a=1，Sn=2a[1-a^(n-1)]/[(1-a)^2]+[1-(2n-1)a^n]/(1-a)，a≠1
注：最后综上所述的部分，要写成分段函数的形式

Answer 2

aSn=a+3a2+5a3+…+(2n-1)an再用题目中的式子减这个式得(1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+…+2a(n-1)=1+2[a+a2+a3+…+a(n-1)]=1+2(等比数列前n项和，公比a，共(-1)项).所以求Sn