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Question

如题所述

Answer 1

已知定义在R*上的函数f(x)满足以下三条件：a)f(3)=-1；b)对于一切x,y∈R*,都有f(xy)=f(x)+f(y)；c) x>1时，f(x)<0；(1)求f(9),f(√3)的值；(2)求证：f(x)在R*上是减函数；
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(1)解析：∵定义在R*上的函数f(x)满足以下三条件：a)f(3)=-1；b)对于一切x,y∈R*,都有f(xy)=f(x)+f(y)；
f(9)=f(3)+f(3)=-2
f(3)=f(√3)+f(√3)=2f(√3)=-1==> f(√3)=-1/2

(2)证明：∵f(xy)=f(x)+f(y)
取x=y=1，则f(1*1)=f(1)+f(1)==>f(1)=0取x=1/y
f(y/y)=f(y)+f(1/y)=f(1)=0==>f(1/y)=-f(y)
∴f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)
设x1,x2为任意的两个正数且满足x2>x1
则 f(x2)-f(x1) =f(x2/x1)
∵x2-x1>0，∴x2/x1>1∵对任意的x>1,有f(x)<0
∴f(x2/x1)<0==>f(x2)-f(x1)<0
∴f(x)是减函数(x>0)