如何求解隐函数的微分方程的通解？

Question

如题所述

Answer 1

步骤：xy=e^(x+y)，微分得ydx+xdy=e^(x+y)*(dx+dy)，整理得[y-e^(x+y)]dx=[e^(x+y)-x]dy，所以dy/dx=[y-e^(x+y)]/[e^(x+y)-x]。

已知隐函数XY=e(X+Y)次方，求dy。

x y = e^(x+y)。

求导：y + x * y' = e^(x+y) * (1 + y')。

即： y + x * y' = x y * (1 + y')。

解得： y' = (xy - y) / (x - xy)。

dy = [(xy - y) / (x - xy)] * dx。

dy/dx=e^(x+y)微分方程的通解？

令u=x+y，u'=1+y'。

y'=e^u 化为：u'-1=e^u，因此有：du/dx=e^u+1。

du/(e^u+1)=dx

d(e^u)/[1/e^u-1/(e^u+1)]=dx

ln(e^u)-ln(e^u+1)=x+c1

e^u/(e^u+1)=ce^x

e^(x+y)/[e^(x+y)+1]=ce^x。