已知数列{an}是首项为a1=1,公比为q的等比数列,前n项的和为Sn。求Tn=a1S1+a2S2+····+anSn

Question

如题所述

Answer 1

解：
数列为等比数列，公比q≠0。
公比q=1时，数列各项均=a1=1，Sn=n
Tn=a1S1+a2S2+...+Sn
=S1+S2+...+Sn
=1+2+...+n
=n(n+1)/2
公比q≠1时，
anSn=a1q^(n-1)×a1(qⁿ-1)/(q-1)=[q^(2n-1) -q^(n-1)]/(q-1)
Tn=a1S1+a2S2+...+anSn
=[q^1+q^3+...+q^(2n-1) -(q^0+q^1+...+q^(n-1))]/(q-1)
=[q[q^(2n) -1]/(q-1) -(qⁿ-1)/(q-1)]/(q-1)
=[q^(2n+1) -q -qⁿ+1]/(q-1)²追问

a1q^(n-1)×a1(qⁿ-1)/(q-1)=[q^(2n-1) -q^(n-1)]/(q-1)?
这步是为什么呢？谢谢。

追答

a1q^(n-1)×a1(qⁿ-1)/(q-1)
=a1²×q^(n-1)(qⁿ-1)/(q-1)
=1×[q^(n-1)×qⁿ-q^(n-1)]/(q-1)
=[q^(2n-1)-q^(n-1)]/(q-1)
很简单的啊。