既然楼主说了”详细“二字，我就系统总结一下吧，仅供参考。字数很多，希望楼主不要被吓住。
①先要弄清对称的概念。
(1)首先从几何图形层面理解。“对称”这个词可以理解为“进行操作之后图形不变（与自己重合）”。比如轴对称就是进行关于这一条轴翻转的操作以后图形不变，就说它是轴对称图形；如果A图形经过轴翻折与B图形重合，则A、B整体看成一个大图形是轴对称的，也可以不看成一个整体称A、B关于这个轴对称。由此发现对称问题有两类，第一类是研究一个图形自己对称的性质，另一个是研究A图形和B图形两个图形之间对称关系的性质。
我要总结的主要是三种对称：轴对称、中心对称（点对称）、周期性（之所以把周期性也纳入对称性的范围，是因为周期性在图形上面的表现是平移一段距离以后不变，可理解为平移对称性）。
(2)至于函数的对称问题，就涉及到表达式，图象对称性最终体现在表达式上面，可以写成公式。这个公式就是把几何语言转化为代数语言的结果，是我们的目标。所以上面说的两类对称问题具体到函数上就是：1)f(x)自己轴对称、中心对称、有周期性可以导出什么公式；2)f(x)和g(x)之间关于轴、点对称，或者f(x)通过平移得到g(x)，可以导出什么公式。
②几何语言转化为代数语言：代表点的选取导出公式
(1)一个函数f(x)自己对称性。
思路：f(x)图象对称→从图象上面选一个点对称操作以后还在图象上→写出公式。
1)f(x)关于轴x=a对称。从几何上说点A(x[0],f(x[0]))这个点在函数图象上，这是显然的；那么A对称点也在函数图象上。A的对称点是A'(2a-x[0],f(x[0]))，A'在图象上就要把坐标代入使得表达式成立，也就是f(2a-x[0])=f(x[0])，函数整体对称的话每一点x都应该满足，因此f(2a-x)=f(x)这就是函数关于x=a对称所满足的公式。
这个公式还有变形形式，就是f(a-x)=f(a+x)，这个就是把上面的f(2a-x)=f(x)写成
f(a+(a-x))=f(a-(a-x))把a-x当成整体就看出来了。记忆起来比f(2a-x)=f(x)好记忆，就是距离a左侧x的点a-x和右侧x的点a+x对应的函数值应该相等，f(a-x)=f(a+x)。
注：a=0特殊情形（关于y轴对称）f(-x)=f(x)这是偶函数的定义。
2)f(x)关于点P(a,b)中心对称。
还是一样的思路，带标点A(x[0],f(x[0]))，关于点P对称点
A'(2a-x[0],2b-f(x[0]))也在函数图象上，满足表达式代入f(2a-x[0])=2b-f(x[0])也就是总结出公式
f(2a-x)+f(x)=2b。变形形式f(a+x)+f(a-x)=2b这个更好记忆，和轴对称的类似。
注：a=0，b=0特殊情形（关于原点对称）f(x)+f(-x)=0是奇函数定义。
3)周期性这个不用多解释，就按照书上定义f(x+T)=f(x)则f是以T为周期的函数。
(2)两个函数f(x)、g(x)对称问题。
思路：f(x)、g(x)图象对称→从f图象上面选一个点对称操作以后在g图象上→写出公式。
1)它们关于x=a轴对称，也就从f(x)上面选取代表点A(x[0],f(x[0]))，对称点A'(2a-x[0],f(x[0]))在g(x)上，要代入g(x)表达式，得到f(x[0])=g(2a-x[0])总结出公式f(x)=g(2a-x)就说明f、g关于x=a对称。变形形式f(a-x)=g(a+x)更好记忆。
2)它们关于点P(a,b)中心对称，还是代表点方法A(x[0],f(x[0]))对称点A'(2a-x[0],2b-f(x[0]))代入g(x)表达式总结出公式g(2a-x)=2b-f(x)也就是g(a+x)+f(a-x)=2b就说明f、g关于(a,b)对称。
3)f按照向量(a,b)平移得到g的图形。还是代表点方法A(x[0],f(x[0]))，平移以后A'(x[0]+a,f(x[0])+b)
在g图象上，代入表达式总结出公式g(x+a)=f(x)+b如果把x+a整体看成新的x得到变形公式
g(x)=f(x-a)+b这就是很多同学死记过的平移公式，所谓“左加右减，上加下减”。
注意：两个函数的问题公式不仅要会正着用，也要会逆着用，往往题目告诉你操作以后得到的g(x)，让你反过来算f(x)，要熟练掌握公式反着算回去。
写了这么多，基本上完了，不知道有没有错误……
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