如何用定义求lnx的导数

Question

如题所述

Answer 1

y=lnx，y'=（lnx）'=1/x

先证一个结论：

lim[h->0] [ln(1+h)/h]

=lim[h->0] [ln(1+h)(1/h)]

=1

因此ln(1+h)与h等价

y'=lim[h->0] {[ln(x+h)-lnx]/h}

=lim[h->0] {(1/h)·ln[(x+h)/x]}

=lim[h->0] {(1/h)·ln[(1+h)/x]}

=lim[h->0] [(1/h)·(h/x)]

=1/x

导数的定义：当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。

扩展资料

一、导数的几何意义

函数y=f(x)在x0点的导数f'x0的几何意义表示函数曲线在P0[x导数的几何意义0fx0] 点的切线斜率。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

二、导数的应用

1、导数可以用来求单调性；

2、导数可以用来求极值；

3、导数的几何意义可以用来求切线的解析式等等。

4、导数与物理几何代数关系密切.在几何中可求切线在代数中可求瞬时变化率在物理中可求速度加速度。

Answer 2

(lnx)'=lim[h→0] [ln(x+h)-lnx]/h
=lim[h→0] ln[(x+h)/x]/h
=lim[h→0] ln(1+h/x)/h
ln(1+h/x)与h/x等价，用等价无穷小代换
=lim[h→0] (h/x) / h
=1/x

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Answer 3

Answer 4