已知正数a,b,c,满足a+b+c=1,求√a/(1-a)+√b/(1-b)+√c/(1-c)的最小值

Question

如题所述

Answer 1

设a、b、c为立方体对角线与三棱夹角的余弦值的平方，a=cos²α，b=cos²β，c=cos²γ，cos²α+cos²β+cos²γ=1，(0<α<π/2，0<β<π/2，0<γ<π/2)，√a/(1-a)+√b/(1-b)+√c/(1-c)=cotα+cotβ+cotγ≥3[cotαcotβcotγ]^(1/3)，cotα、cotβ、cotγ大于零，当cotα=cotβ=cotγ时有最小值，即cos²α=cos²β=cos²γ=1/3，sin²α+sin²β+sin²γ=2/3，cotα=cotβ=cotγ=√2/2，则√a/(1-a)+√b/(1-b)+√c/(1-c)的最小值为3√2/2.