定积分求极大值极小值选择题

Question

求解析一下哈

Answer 1

f(x)=∫(0,x) (t-1)e^t dt
求导，
f'(x)=(x-1)e^x
当x>1，f'(x)>0，增函数
当x=1，f'(x)=0，极小值
当x<1，f'(x)<0，减函数
明显，有f(x)有极小值，为
∫(0,1) (t-1)e^t dt
=∫(0,1) (t-1) d(e^t)
=(t-1)e^t | (0,1) - ∫(0,1) e^t d(t-1)
=(t-1)e^t | (0,1) - ∫(0,1) e^t dt
=1-e+1
=2-e
因此，选A
有不懂欢迎追问

Answer 2

先不定积分

分部积分法
f(x)=(t-1)e^t- 积分号e^t d(t-1)
=(t-1)e^t-e^t=(t-2)e^t
代入上下限
f(x)=(x-2)e^x+2
求导算极值
f'(x)=(x-2)e^x+e^x=(x-1)e^x=0 得x=1

所以当x=1 有极值2-e
判断极大极小，此处可以粗略画一下函数图像来判断 解析法则应如下

求二阶导数
f''(x)=xe^x
x=1时 f''(x)>0 所以是极小值

Answer 3

极值时，导数=0
所以
f对x求导
=(x-1)e^x=0
显然e^x>0
所以x=1,是驻点
再求一次导看最大最小
=e^x+(x-1)e^x=xe^x
代入1
f''(1)>0
所以x=1处是极小值
所以
代入x=1
求积分
=∫1 0 (t-1)e^t dt=2-e
所以极小值2-e