首先求出幂级数的收敛半径与收敛域,然后可通过以下几种方法求
幂级数的和函数:
(1)变量替换法——通过变量替换,化为一较简单的幂级数.
(2)拆项法——将幂级数分拆成两个(或几个)简单幂级数的和.
(3)逐项求导法——通过逐项求导得出另一幂级数,而此幂级数的和函数是不难求得的;然后再通过牛顿莱布尼兹公式,得到原幂级数的和函数.
(4)逐项积分法——通过逐项求积得出另一幂级数,而此幂级数的和函数是可以求得的;然后再通过求导数,得到原幂级数的和函数.
一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化,系数含有,向的幂级数展开形式转化,系数含有向展开形式转化.
注意:上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的(而在幂级数的收敛域上却不一定可行).因此,我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算,由此得到在收敛区间上的和函数,而求幂级数在其收敛域上的和,还需要讨论在端点的函数值,利用函数在端点的左(右)连续性来求.
还需指出,这里所介绍的方法,仅仅是可供选择的几种途经.对具体问题,常常要综合利用上述方法,或寻求其他方法才能得到问题的解.
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