数列前N项和1+2^2+3^2+…n^2=n(n+1)(2n+1)/6证明的详细过程

Question

如题所述

Answer 1

解： ∵ （n+1)³ = n³ + 3n² + 3n +1
∴ （n+1)³ - n³ = 3n² + 3n +1
n=1 时，2³ - 1³ = 3×1² + 3×1 + 1
n=2时，3³ - 2³ = 3×2² + 3×2 + 1
n=3时，4³ - 3³ = 3×3² + 3×3 + 1
……
n取n+1时（n+1)³ - n³ = 3×n² + 3×n +1
以上 n 个式子相加得：
（n+1)³ - 1³ = 3（1²+2²+3²+…+n²）+ 3（1+2+3+…+n） + n
整理得 n³ + 3n² +3n = 3（1²+2²+3²+…+n²）+ 3× n(n+1)/2 +n
n³ + 3n² +3n - 3× n(n+1)/2 - n = 3（1²+2²+3²+…+n²）
n³ + 3n² +3n - 3n²/2 - 3n/2 - n = 3（1²+2²+3²+…+n²）
n³ + 3n²/2 + n/2 = 3（1²+2²+3²+…+n²）
上式左、右交换：
3（1²+2²+3²+…+n²）= n³ + 3n²/2 + n/2
3（1²+2²+3²+…+n²）= （1/2）（2n³ + 3n² + n ）
= （1/2) n( 2n² + 3n + 1)
= (1/2)n(n+1)(2n+1)
∴ 1²+2²+3²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/3
证毕。

Answer 2

下面的推导用到了裂项相消法，就是将

n^2拆成{n^3-(n-1)^3+3n-1}/3

那么在求和时就可以前后项产生对消式

当然其中还用到了等差数列的求和公式这里就不再赘述了

最后的化简用到了十字相乘也就不多说了

用这样的思想还可以推导出1^3+2^3+3^3+……+n^3或更高次幂的自然数等幂和

还有其他的推导方法比如数学归纳法 几何等效法 分组求和等等

若LZ还有什么不明白的地方可追问

希望我的回答对你有帮助

Answer 3

也可以用分析综合法啊，验证n=1时成立，假设n=k时成立，这时可以推出n=k+1也成立。那就可以证明了。

Answer 4

数学归纳法