第1个回答 2022-06-25
坐标的引入使向量真正成为数形结合的载体，它可以让向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量（向量的坐标）的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，就转化为我们熟悉的数量的运算. 在高考选择题和填空题中经常出现，其试题难度属中高档题.
使用情景：一般平面向量
解题步骤：
第一步 利用已知条件建立适当的直角坐标系并写出各点的坐标；
第二步 将几何问题 转化为平面向量的运算并进行求解；
第三步 得出结论.
【例1】已知 ， ， ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【解析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ，
即
所以 ， ，
因此
因为
所以 的最大值等于 ，
当 即 时取等号．
【总结】将平面向量数量积用坐标表示，从而转化为代数运算，进而用不等式知识求解。
【例2】 已知 是圆 的直径，点 为直线 上任意一点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设 ， ， ， ，
所以
，
所以最小值是1，故选D.
【总结】本题主要考察了向量数量积的坐标表示，属于基础题型，用向量法解决一些简单的平面几何问题时，有 坐标系，可直接设点的坐标，代入数量积的坐标表示，转化为坐标法解决问题，如果没有坐标系，可根据图像 建立坐标系，再转化为数量积的坐标表示问题.
【例3 】 在等腰直角 中， ， ， 、 为 边上两个动点，且满足 ，则 的取值范围为 .
【解析】
如图，分别以 ， 所在边的直线为 轴, 轴建立直角坐标系,
则 , , ,直线 的方程为 ，
设 ， ,则 ,
所以 , ,
由于 ,所以当 时有最小值为 ,
或 时有最大值为 ,
故答案为 .
【总结】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算,属于中档题. 在本题中,由于 是等腰直角三角形,且 ,所以想到建立直角坐标系,写出各点坐标,能够减少计算量,
易错的地方:参数 的范围. 根据 、 点的坐标,且在第一象限,所以 , 计算结果是关于 的二次函数,由参数 的范围求出 的取值范围.