各位数学高手，求圆的面积公式 S=πr^2 推导。 请看清要求！
要求：
(1) 不准用不等式：sin x<x<tan x，因为其证明用到了圆面积公式
(2) 不准用极限：lim (x/sin x) =1,(x趋向于0)，因为其证明用到了(1)中的不等式
(3) 不准用 (sin x)'=cos x ，因为其证明用到了(2)中的极限
(4)不准用 (arcsin x)'=1/√(1-x^2)，因为其证明用到了(3)中的导数
(5)不准用∫√(1-x^2)dx ，因为其证明用到了(4)中的导数
(6)不准用其它一些先由圆面积推出来的公式
最好从最基本的定义、公理出发。
在此求一基本证明。也可以用高等的手段，只不过使用之前，请各位看一看这理论基础是不是已经包含了这个公式。因为，循环论证没意思！
先无限逼近求圆的周长
π=n*sin(45°/n)*4 (n>700000)
L=2πr
r/△x=n
然后△x**2π0+△x*2π△x+△x*2π2△x+...△x*2π△x（n-1)=2π△x^2*(n(n-1)/2=πr^2(1-1/n) lim n→无穷大 得πr^2
看看行不行
还有一种比较繁 不想打了 睡觉去了 明天在说
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 推荐于2016-12-01
首先你要注意，虽然圆的面积公式远早于微积分，但不代表所谓的证明是严谨的。比如说，最常用的初等定义是用pi=圆周长/直径，然后用割圆的方法“证明”出圆的面积只能是pi*r^2，但是毛病在于周长和面积的定义都不是严格的，所以这些结论却是可以在微积分出现之前就用不太严格的方式得到。
然后给你讲一下如何严格化。
1.有了最基本的极限理论之后先建立幂级数的理论，然后用幂级数定义sinx和cosx，这些理论的建立完全不需要pi。
2.利用幂级数的定义可以建立除了诱导公式外的三角公式，因为最基本的结论是加法定理sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，可以直接由幂级数证明。
另外(sinx)^2+(cosx)^2=1可以由[(sinx)^2+(cosx)^2]'=0得到。
3.定义sinx=0的最小正根为pi，然后用三角公式可以建立各种诱导公式和单调性，然后就有了反三角函数的值域。
利用上述方法就能完全解开你所提到的循环论证，过程中完全不涉及直观的几何，换句话说“几何意义”都是用代数符号来定义出来的。但是这套方法一般不适合教学，这是有了高等数学之后反过来对于初等数学的严格化，而不是根据历史上的认知过程得到的。本回答被提问者采纳
然后给你讲一下如何严格化。
1.有了最基本的极限理论之后先建立幂级数的理论，然后用幂级数定义sinx和cosx，这些理论的建立完全不需要pi。
2.利用幂级数的定义可以建立除了诱导公式外的三角公式，因为最基本的结论是加法定理sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，可以直接由幂级数证明。
另外(sinx)^2+(cosx)^2=1可以由[(sinx)^2+(cosx)^2]'=0得到。
3.定义sinx=0的最小正根为pi，然后用三角公式可以建立各种诱导公式和单调性，然后就有了反三角函数的值域。
利用上述方法就能完全解开你所提到的循环论证，过程中完全不涉及直观的几何，换句话说“几何意义”都是用代数符号来定义出来的。但是这套方法一般不适合教学，这是有了高等数学之后反过来对于初等数学的严格化，而不是根据历史上的认知过程得到的。本回答被提问者采纳
第2个回答 2012-04-08
只能像古代一些数学家算兀值那样，用圆内接正多边形的方法来推算了。因为当正多边形的边数趋于无穷时，其对角线长的一半的值的平方和其面积之比就会越来越趋于1：兀。而正多边形自身也趋向于圆。这样，便可近似求得圆面积公式：s=兀r^2。
第3个回答 2012-04-06
定义π=l/d = l/2r，
并由此定义一周的角度为2π，对应360°，
所以有扇形周长公式：周长=半径×圆心角
求证：S=πr²
证明：把圆分成n个扇形，设扇形的角度为α，则nα=2π, lim(n→∞)α=0，即α为n→∞时的无穷小量
当α很小时，可以近似用三角形面积公式来算，底为弧长rα，高为半径√(r²-(rα/2)² = r√(1-α²/4) = r(1-α²/8+……)（这里用泰勒公式展开到第一项，后面的项没有写出来，但由下述过程可知求和后均为0）
扇形面积s = r²α/2·(1-α²/8+……)
圆面积S=lim(n→∞)∑s = lim(n→∞)∑r²α/2··(1-α²/8+……) = lim(n→∞)(∑r²dα/2 - ∑r²α³/16 + ……)
=πr²/2-r²/16·lim(n→∞)nα·α² + ……
=πr²/2-r²/16·lim(n→∞)2πα² + ……
=πr²/2-0+0+……
=πr²/2
上述过程用到了弧长近似为三角形底，是不严格的证明，严格的需要做两个三角形，一个连接扇形的两边端点构成三角形，面积为s = 2rsin(α/2)·rcos(α/2) / 2 = r²sinα/2=r²/2(α-α²/2+……)一个外切其中一条边构成直角三角形的底，并延长另外一条边与之相交，面积为s = r²·tanα/2=r²/2·(α+α³/6+……)，则扇形面积处于这两这之间（注意：这里扇形的面积未知，没有使用rα·r/2来表达，也就是没有使用圆面积公式），分别对两种三角形面积进行求和求极限，同上述求极限过程，可知二者的面积和极限均为πr²/2（展开式的第一项和可求得πr²/2，其他项均为0），根据极限夹逼准则，圆面积为πr²/2
并由此定义一周的角度为2π，对应360°，
所以有扇形周长公式：周长=半径×圆心角
求证：S=πr²
证明：把圆分成n个扇形，设扇形的角度为α，则nα=2π, lim(n→∞)α=0，即α为n→∞时的无穷小量
当α很小时，可以近似用三角形面积公式来算，底为弧长rα，高为半径√(r²-(rα/2)² = r√(1-α²/4) = r(1-α²/8+……)（这里用泰勒公式展开到第一项，后面的项没有写出来，但由下述过程可知求和后均为0）
扇形面积s = r²α/2·(1-α²/8+……)
圆面积S=lim(n→∞)∑s = lim(n→∞)∑r²α/2··(1-α²/8+……) = lim(n→∞)(∑r²dα/2 - ∑r²α³/16 + ……)
=πr²/2-r²/16·lim(n→∞)nα·α² + ……
=πr²/2-r²/16·lim(n→∞)2πα² + ……
=πr²/2-0+0+……
=πr²/2
上述过程用到了弧长近似为三角形底，是不严格的证明，严格的需要做两个三角形，一个连接扇形的两边端点构成三角形，面积为s = 2rsin(α/2)·rcos(α/2) / 2 = r²sinα/2=r²/2(α-α²/2+……)一个外切其中一条边构成直角三角形的底，并延长另外一条边与之相交，面积为s = r²·tanα/2=r²/2·(α+α³/6+……)，则扇形面积处于这两这之间（注意：这里扇形的面积未知，没有使用rα·r/2来表达，也就是没有使用圆面积公式），分别对两种三角形面积进行求和求极限，同上述求极限过程，可知二者的面积和极限均为πr²/2（展开式的第一项和可求得πr²/2，其他项均为0），根据极限夹逼准则，圆面积为πr²/2
第4个回答 2012-04-03
这个很简单
首先，你了解相似图形吧
从相似可以看出S与图形线度的平方成正比
所以面积公式的关键在于π这个系数的大小怎么求，没错吧。
π的值怎么求：
“
1、马青公式
π=16arctan1/5-4arctan1/239
这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了。
2、拉马努金公式
1914年，印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：
3、AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法
高斯-勒让德公式：
这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。
4、波尔文四次迭代式：
这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表的。
5、bailey-borwein-plouffe算法
这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。
6、丘德诺夫斯基公式
这是由丘德诺夫斯基兄弟发现的，十分适合计算机编程，是目前计算机使用较快的一个公式。以下是这个公式的一个简化版本：
丘德诺夫斯基公式
”追问
首先，你了解相似图形吧
从相似可以看出S与图形线度的平方成正比
所以面积公式的关键在于π这个系数的大小怎么求，没错吧。
π的值怎么求：
“
1、马青公式
π=16arctan1/5-4arctan1/239
这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了。
2、拉马努金公式
1914年，印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：
3、AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法
高斯-勒让德公式：
这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。
4、波尔文四次迭代式：
这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表的。
5、bailey-borwein-plouffe算法
这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。
6、丘德诺夫斯基公式
这是由丘德诺夫斯基兄弟发现的，十分适合计算机编程，是目前计算机使用较快的一个公式。以下是这个公式的一个简化版本：
丘德诺夫斯基公式
”追问
我已经说了，定义：π=圆周长÷圆直径
追答这里面有什么矛盾吗？
你确认你的要求里都是对的？！
"不准用不等式：sin x<x<tan x，因为其证明用到了圆面积公式"
不是非要用面积公式
然后的π*r^2呢？
追答什么意思？
追问没说不可以用三角形逼近啊。求和以后呢，请检查有没有违背(2)。
追答的确没有用到（2）
这个说不太清楚，而且（2）也可以不用（1）
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