如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，CE平分∠ACB，GF∥BC，求证：AE=BF。

Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，CE平分∠ACB，GF∥BC，求证：AE=BF。

Answer 1

证明：过点G作GN⊥AC于N，过点F作FM⊥BC于M
∵∠BAC＝90
∴∠B+∠ACB＝90
∵AD⊥BC
∴∠CAD+∠ACB＝90
∴∠B＝∠CAD
∵CE平分∠ACB
∴∠ACE＝∠BCE
∵∠AGE＝∠CAD+∠ACE，∠AEG＝∠B+∠BCE
∴∠AGE＝∠AEG
∴AG＝AE
∵GN⊥AC
∴GN＝GD （角平分线性质）
∵FM⊥BC，GF∥BC
∴矩形GDMF
∴GD＝FM
∴FM＝GN
∵∠GNA＝∠FMB＝90
∴△AGN≌△BFM
∴AG＝BF
∴AE＝BF

Answer 2

证明:作EM垂直BC于M.
∵CE平分∠ACB.
∴AE=EM;
∵∠B=∠CAG(均为角EAG的余角);∠BCE=∠ACG(已知)
∴∠B+∠BCE=∠CAG+∠ACG,即∠AEG=∠AGE.(三角形外角的性质)
则:AG=AE=EM;
∵GF∥BC.
∴∠AFG=∠B;∠AGF=∠ADB=90度=∠EMB;又AG=EM(已证)
∴⊿AGF≌⊿EMB(AAS),AF=EB.
故AF-EF=EB-EF,即AE=BF.

Answer 3

由于此题中没有给出角的度数，所以可以用特殊法，找两个特殊的角代入，∠B可为30度，∠ACB为60度，则此题就容易多了。