一个数除以7余2，除以4余1，除以9余3，这个数最小是几？

Question

要说明每一步的意思，快！！！！
不要什么中国剩余定理

Answer 1

9 16 23 30 37
37/4=9.....1
37(+28)(28=4*7) 65 93
93/9=10....3
最小为93

中国剩余定理

民间传说着一则故事——“韩信点兵”。

秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。

在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.

这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.

① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？

解：除以3余2的数有：

2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

它们除以12的余数是：

2，5，8，11，2，5，8，11，….

除以4余1的数有：

1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

它们除以12的余数是：

1， 5， 9， 1， 5， 9，….

一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.

如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是 5＋12×整数，

整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.

②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.

解：先列出除以3余2的数：

2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

再列出除以5余3的数：

3， 8， 13， 18， 23， 28，….

这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30，…，

就得出符合题目条件的最小数是23.

事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.

那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是105×10+23=1073人

Answer 2

这个是中国历史上著名的韩信点兵问题，也叫孙子问题(物不知数)。
固定的解法是这样的：
【解】
先随便求一个能被7和8整除且除以9余3的数。有固定的方法：
56m-9n=3
（计算前要先把式子两边约一下，这时候没有公因子，不用约）
两个系数56和9，56大，就让56除以9，商6余2，于是
可以化简为(6*9+2)m-9n=3，2m-9(n-6m)=3，令k=n-6m，有
2m-9k=3
两个系数2和9，9大，9除以2商4余1，于是
又可以同样化简2m-(4*2+1)k=3，2(m-4k)-k=3，令i=m-4k，有
2i-k=3
这时候，有一个系数是1，遇到系数是1的时候，要留一个1，即2=1*1+1，而不是2=2*1+0。同样令j=k-i，有
i-j=3
这时候，两边系数都是1，就不能化简了，令j=0，有i=3
代回去，算出k=j+i=3，m=i+4k=15
令a=56m=280*3，则7|a,8|a,且a除以9余3。

按照同样的方法，找到：
b=441*4，7|b,9|b,且b除以8余4
c=288*2，8|c,9|c,且c除以7余2

然后把三个数加起来
a+b+c=3180，显然这个数满足被7除余2，被8除余4，被9除余3，但不一定是最小

7,8,9三个数的最小公倍数（有固定的算法）是7*8*9=504

然后用3180除以504，商6余156

156就是结果。

PS: 以上解法是固定的算法，对于任意大的数字均可以用该算法求解，不需要试探和猜测。其中求最小公倍数也有固定的算法，即用辗转相除法求得最大公约数间接求得。

祝你新年快乐！o(∩_∩)o...

Answer 3

1、先列出除以7余2的数：
9，16，23，30，37，44…
2、再列出除以4余1的数：
5，9，13，17，21，25…
3、这两列数中，首先出现的公共数是9；7与4的最小公倍数是28，两个条件合并成一个就是9＋28×整数，列出这一串数是37，65，93…
4、再列出除以9余3的数：
12，21，30，39，48，57，66，75，84，93，102…
5、就得出符合题目条件的最小数是93
6、9×28＝252，把题目中三个条件合并成一个：被252除余93。

Answer 4

93