某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件.

Question

试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系． （1）试求y与x之间的函数表达式；
（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为S（元），求S与x之间的函数表达式（毛利润=销售总价-成本总价）；
（3）当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大？最大毛利润是多少？此时每天的销售量是多少？
这题关系函数的应用，需要详细解答过程！

Answer 1

(1)解：由上图知道售价X与销量成负相关线性关系，即售价每增加5元，销量减少50件。
设 y=kx+b 550=35k+b (i) 500=40k+b (ii) (i)-(ii)
50=-5k k=-10 b=550+350=900
∴ y=-10x+900
(2)解： ∵ 毛利润=销售总价-成本总价；∴ S=yx-30y=y(x-30)
S=(-10x+900)(x-30)=-10x²+900x+300x-27000=-10x²+1200x-27000
∴ S=-10x²+1200x-27000
(3)解：由（2）结论得知
S=-10x²+1200x-27000 对x求导数有 S‘=-20x+1200 令S'=0 有 20x=1200 x=60<80(满足题设条件)
∴ Smax=-36000+72000-27000=9000 （元）
当销售定价为60元时，每天获得毛利9000元，此时销量为60件。追问

最后一道，答案是最大毛利润9000元，销量300件

追答

当X=60时，y=-10X60+900=300,是的，我算错了，对不起！

Answer 2

解：（1）解法1：设y与x之间的函数关系满足y=kx+b
把x=40，y=500；x=50，y=400
分别代入上式得：
40k+b=50050k+b=400，
解得k=-10b=900
∴y=-10x+900
∵表中其它对应值都满足y=-10x+900
∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为y=-10x+900（30≤x≤80）；
解法2：设y与x之间的函数关系满足y=ax2+bx+c
把x=35，y=550；x=40，y=500；x=50，y=400分别代入上式
得1225a+35b+c=5501600a+40b+c=5002500a+50b+c=400
解，得a=0b=-10c=900∴y=-10x+900
∵表中其它对应值都满足y=-10x+900
∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为y=-10x+900（30≤x≤80）；

（2）方法1：毛利润S=（x-30）•y
=（x-30）（-10x+900）
=-10x2+1200x-27000（30≤x≤80）
方法2：毛利润S=xy-30y
=x•（-10x+900）-30×（-10x+900）
=-10x2+1200x-27000（30≤x≤80）；

（3）在S=-10x2+1200x-27000中
∵a=-10＜0，∴当x=-
12002×(-10)=60时
∴S最大=-10×602+1200×60-27000=9000（元）
此时每天的销售量为：y=-10×60+900=300（件）．
∴当销售单价定为60元/件时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大，最大毛利润是9000元，此时每天的销售量是300件