数学达人你们在哪里！高分求助微积分习题解答

Question

数学高手们， 有劳各位了！

满意答案追加 80分！

Answer 1

1、楼上已经解决了。等式乘以f'(x)得
f*f'+f'*f''=-xg(x)(f')^2，即(f^2+f'^2)'=-2xg(x)*(f')^2，
当x>0时，右边<=0，当x<0时，右边>=0，因此
函数f^2+f'^2是先递增后递减的函数，f(0)^2+f'(0)^2是其最大值，
另外，显然后f^2+f'^2>=0，因此得到不等式
0<=f^2+f'^2<=f(0)^2+f'(0)^2。故f(x)是有界的。
2、若(e^(x^2)g(x))'=e^(x^2)'*g'(x)，即
e^(x^2)*(2xg(x)+g'(x)=e^(x^2)*2x*g'(x)，于是得微分方程
(1-2x)g'(x)+2xg(x)=0。根据微分方程的理论可知g(x)是存在的，
实际上可以求解得出。
因为(e^(--x)g(x)/根号(1--2x))'
=【[(e^(--x)g'--e^(--x)g]*根号(1--2x)+e^(--x)*g(x)/根号(1--2x)】/(1--2x)
=e^(--x)*【(1--2x)g'(x)+2xg(x)】/(1--2x)^(3/2)
=0，因此得
e^(--x)g(x)/根号(1--2x)=C，
g(x)=Ce^x*根号(1--2x)。x<1/2时。
3、通项除以3^(2k+1)得
通项=(2/3)^k*(1/3)/【(1--(2/3)^(k+1))(1--(2/3)^k)】
=1/(1--(2/3)^k)--1/(1--(2/3)^(k+1))，因此裂项相消得
级数的和=1/(1--2/3)=3。
4、用比较判别法即可。
通项/n=1/n^(1/n)，极限是1，即an等价于1/n，因此级数发散。
5、通项an=n!/(n+1)^n*(19/7)^n，
则a(n+1)/an=(n+1)!/(n+2)^(n+1)*(19/7)^(n+1)*(n+1)^n/n!*(7/19)^n
=(n+1)^(n+1)/(n+2)^(n+1)*19/7
=19/7*1/(1+1/(n+1))^(n+1)，注意到(1+1/(n+1))^(n+1)趋于e，因此
lim a(n+1)/an=19/(7e)<1，故级数收敛。

Answer 2

……第一题 两边乘f'(x)，可以证明f^2(x)+f '^2(x)有界，|f(x)|有界

Answer 3

题目……追问

我是对这方面一点不了解，所以翻译怕误导你们。不用全做，可会的来，感谢！

追答

very~~~sorry，man，your problems scared me……恕我体质弱，对竞赛题木有免疫力……

Answer 4

不难。。。追问

那就有劳这位朋友了，悬赏又提高了20分，满意答案另外追加100