a≤b它们的和为三位数，三个数字从小到大排列等差，积为五位数，每位上的数均相同

Question

如题所述

Answer 1

这个题的解答难点在于怎么分解那个五位数的因数。
由题意我们知道：A×B=N×11111（1≤N≤9）
因为A、B和为三位数，所以A、B都不可能超过三位数，所以N×11111分解因数不能超过三位数
也就是说，11111必须分解成不超过三位数的因数
呵呵，一般人还真难住了，这里我提供答案：
11111=41×271
除了1和它本身以外，11111只有41和271两个因数（质因数）
因此A、B两个数可以表示为41X，271Y（谁大谁小还不一定），所以有：
①、1≤XY≤9

又A+B为三位数，所以：
②、Y≤3（因为271Y不能超过三位数）

这里我们必须找出一个隐藏条件来：三个数字能构成等差数列，那么三个数字之和是三的倍数，也就是说A+B是三的倍数
证明：设三个数中最小的数为M，差值为N，那么三数之和=M+(M+N)+(M+2N)=3(M+N)
因为41÷3余2，271÷3余1，要满足41X+271Y是三的倍数，我们可以推导出：
41X+271Y=39X+2X+270Y+Y=3(13X+90Y)+2X+Y，所以
③、2X+Y必须是3的倍数

联合①、②、③三式，在自然数范围内求解，有
X=1，Y=1
X=2，Y=2
X=3，Y=3
X=4，Y=1
X=7，Y=1
代入 41X 和 271Y ，得到五组解：
A=41，B=271，A+B=312，AB=11111
A=82，B=542，A+B=624，AB=44444
A=123，B=813，A+B=936，AB=99999
A=164，B=271，A+B=435，AB=44444
B=287，A=271，A+B=558，AB=77777（弃除，因为5、5、8三个数不构成等差数列）