an=n^2 求前n项和 详细过程 高一方法

Question

如题所述

Answer 1

an=n^2 (用立方差公式构造，叠加）
∵ (n+1)^3-n^3
=(n+1-n)[(n+1)^2+(n+1)n+n^2] (立方差公式）
=3n^2+3n+1
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

∴2^3-1^3=3×1^2+3×1+1
3^3-2^3=3×2^2+3×2+1
4^3-3^3=3×3^2+3×3+1
.........................................
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将上面n个等式两边相加：
（n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)+3(1+2+3+.....+n)+n
n(n^2+3n+3)=3(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)+3(n+1)n/2+n
∴3(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)
=n(n^2+3n+3)-3(n+1)n/2-n
=n/2[(2n^2+6n+6)-3(n+1)-2]
=n/2(2n^2 +3n+1)
=n(n+1)(2n+1)/2
∴1^2+2^2+3^2+..........+n^2
=n(n+1)(2n+1)/6