关于大学数学极限的问题，每道题都请给出原因，我知道怎么做，至于错在哪里就说不清，

第一题已经是典型了……但是说实话从高中开始我就没怎么在意原因……还有最后一题我做出来无穷大……不知道对不对……

推荐答案 2012-10-05

指出下列运算的错误并计算出正确的结果
四个解法都是错误的

1. 错误，
原因是无限项相加不能当作有限项相加，极限不能分开计算的
正确做法是先通分
原式＝Lim [(1 + 2 + …… + n) / n²]
＝ Lim [n(n + 1) / (2n²)]
＝ Lim [n² / (2n²)] + Lim [1 / (2n²)]
＝1/2 + 0
＝1/2

2. 错误
原因是当x →0时，sin(1/x³) 是一个有界量，介于±1之间，但是注意其极限并不存在(你图片中最后一个等号是错的，虽然结果正确)
所以 x³ sin(1/x³) 就是无穷小量乘以有界变量，(根据推论)整个结果的极限就是0

3. 错误
原因是当x →0时，sin(1/x³) 虽是一个有界量，介于±1之间，但是注意其极限并不存在
而分母 1/x³ →无穷大，所以 sin(1/x³) / (1/x³) 虽然符合典型极限 sinM / M 的形式，但并不符合等于1的条件（只有当形式中的M →0时才等于1），但如今1/x³ →无穷大，不是→0
至于正确方法和第2题相同，即
所以 x³ sin(1/x³) 就是无穷小量乘以有界变量，(根据推论 )整个结果的极限就是0

4. 错误
整个形式是 0 / 0 的形式，可以应用罗必达法则
原式＝Lim (tanx - sinx) / x ＝ Lim (sec²x - cosx) / 1 ＝ 0/1 ＝ 0
或者，根据tanx = sinx / cosx
所以，
原式＝Lim (tanx - sinx) / x
＝ Lim (sinx/cosx - sinx) / x
＝ Lim sinx( 1 - cosx) / （xcosx)
＝ Lim sinx / x * Lim(1 - cosx) / cosx
＝ 1 * 0/1
＝ 0

总结：其实高等数学要比初等数学容易学，初等数学方法很灵活，变化多，种类繁杂，而高等数学相对概念多，但方法死板，需要套用格式，套用不对就错了，甚至根本无法计算。
例如极限的计算中，两种重要极限（估计老师和书本都只是说重要，但为什么重要没有说），这就是现实，我们花费了整整1年时间学习高数，到头来还是跟没有学习一样，原因当然是很多的，但归根结底是理性学习，并没有建立感性认识，.......跑题了，不多说了追问

厉害~多谢了~啊概念确实很多啊好烦……
话说有个问题最后一题分母是x^3啊~还有为什么tanx-sinx的极限是0？？
咳咳……罗必达是什么……我们那版书上木有这个……

追答

对不起，是我粗心了，最后一道题用级数展开最简单，但估计方法你不会，所以就用罗必塔法则来做吧
原式＝Lim (tanx - sinx) / x³
＝ Lim (sec²x - cosx) / (3x²)
＝ Lim (2secx* secx tanx + sinx) / (6x)
＝ Lim sinx(2sec²x / cosx + 1) / (6x)
＝ Lim sinx /x * Lim(2sec²x / cosx + 1) / 6
＝ 1 * 3 / 6
＝1/2

级数展开方法(也可以理解为等价无穷小替换)，利用下两式：
sinx = x - x³/6 + o(x³) 通常用 sinx = x - o(x)
cosx = 1 - x²/2 + o(x²)
原式＝Lim (tanx - sinx) / x³
＝ Lim sinx(1 - cosx) / (x³cosx)
＝ Lim sinx /x * Lim(1 - cosx) / x² * Lim 1/cosx
＝ 1 * Lim (x²/2 + o(x²)) / x² * 1
＝ 1 / 2

1. 为什么tanx-sinx的极限是0？？
-------------当x→0时，tanx 和 sinx都→0啊，而且sinx趋近的速度更快一些：
sinx ＜x＜tanx
2. 咳咳……罗必达是什么……我们那版书上木有这个……
这个是个很基础、很重要的求极限方法，网上我没办法详细解释啊