证明自然数集和有理数集元素个数相等 证明实数集合元素个数比自然数多

Question

自然数真包含于有理数集的啊，剩余的还有分数，如何构成单满射？

Answer 1

三言两语说不清。

举个简单的例子，整数集Z和偶数集S元素个数相等，构照双射 s=2z 即可。
同样的，自然数集和有理数集都是无限的可列集，即可以按某种规律排成一个数列，所以元素个数相等。
而实数集是无限的不可列集，所以实数集元素个数比自然数多。

Answer 2

自然数集是可数集合。
证明有理数集和自然数集一一对应，而实数不可列就是了。
有理数都能写成m/n形式，所以有理数按对角线法排列于是就是0 1 -1 1/2 -1/2 2 -2 1/3 -1/3 2/3 -2/3 3/2 -3/2 3 -3 1/4 -1/4 ……而且不会落下一个有理数。于是有理数是可数的，也就是有理数集的元素和自然数集相等。
下面证明实数不能和自然数对等：
假设实数和自然数一样多，则实数是可数集，能和自然数集一一对应，以下给实数来编号：
0 0
1 0.11123456712……
2 0.10000557428……
3 0.01001000100001……
4 1.123124222745……
……
然而我们可以找到数0.21123456712……或者0.11000557428……，0.10100100010000……等等的数与上面的数列中的实数都不一样，于是上面的数列不可能包含全部实数。这产生了矛盾，此矛盾说明了实数不能和自然数一一对应。说明实数是不可数的。因此实数集合的元素要比自然数集合的要多。

Answer 3

这个比较麻烦，你还是自己好好看看实变函数课本吧。你要是高中生，那就等到大学再说吧。