若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0的某邻域内必定连续... 这不是对的吗.?????? 若是错的话..求反例..

Question

如题所述

Answer 1

若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0的某邻域内必定连续，这句话是错误的。

举例说明：

f(x)=0，当x是有理数

f(x)=x^2，当x是无理数

只在x=0处点连续，并可导，按定义可验证在x=0处导数为0

但f(x) 在别的点都不连续

函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。

扩展资料：

导数是一个数，是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。

设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间y'>0，那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数：如果在这个区间y'<0，那么函数y=f(x)在这个区间上为减函数；如果在这个区间y'=0，那么函数y=f(x)在这个区间上为常数函数。

Answer 2

若函数在x0可导，则函数在x0点连续，但是却不一定在该点的某领域内连续。比如函数
f(x)在x取值为有理数时函数值为x^2，在x取值为无理数时函数取值为0。
可以按导数定义证明其在0处的导数为0，在x=0时可导，其次，可以证明在x=0以外的任何点都不连续。所以在0的任何领域内都不可能满足连续性条件。

Answer 3

呵呵，刚做了个例子，复制过来就可以啦。

f(x)=0 当x是有理数。
f(x)=x^2 当 x是无理数。
只在x=0处点连续，并可导。按定义可验证在x=0处导数为0.

但f(x) 在别的点都不连续。追问

可是这样不是在x=0处点连续吗....而x=0处连续不是j就是指x0的某领域吗.??领域不是可以指很小的区域吗..???????

追答

在x=0 处连续指 只在这点连续。
在x0的某领域连续，指 存在 a>0, 使得 任给 x1 满足 x0-a < x1 < x0+a, f(x) 在 x=x1处连续。

在连续的定义中用到x0的邻域的概念，但没有涉及在邻域中别的点是否连续。

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Answer 4

f（x）=x^2， x是有理数；
f（x）=0， x是无理数。
那么你可以证明f（x）在x=0处可导而且导数等于0，可是在0的任意领域内都有不可导的点。