为什么以下三个命题等价？ 1.AX=O只有零解 2.R(A)=n 3.A的列向量组线性无关

还有第四个：若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零这是怎么推出来的？大一新生对高数好困惑啊，都学不懂。求解，最好有每一步的过程和来源根据，谢谢老师！

推荐答案 2012-11-13

这些等价命题的推导与你所学的教材内容的安排顺序有关
我只能给你些参考, 最好你自己把所学内容过一遍, 总结一下所学概念,定理,例题和习题, 把来龙去脉搞清楚.

n阶方阵A的秩 r(A)=n
<=> A的列(行)向量组线性无关 (A的秩等于A的行秩等于A的列秩)
<=> |A|≠0 (A的秩等于A的最高阶非零子式的阶)
<=> AX=0 只有零解 (Cramer法则)

若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零
事实上这是充分必要的
是 AX=0 只有零解 <=> |A|≠0 的逆否命题来自：求助得到的回答

温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考

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其他回答

第1个回答 2012-11-16

解空间的维数等于n-rank（A）,12等价。rank（A）=n,则A的列向量线性无关

相似回答

设A是m*n阶矩阵,则方程组AX=0仅有零解的充要条件为()答：(1)r(A)=n (2)A的列向量线性无关.所以这个题目答案就是1

线性方程组AX=0有无零解的充分必要条件是?答：设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是A的列向量组线性无关。由线性关系的定义求解。解：A为m×n矩阵，∴A有m行n列，且方程组有n个未知数 Ax=0仅有零解⇔A的秩不小于方程组的未知数个数n ∵R（A）=n⇔A的列秩=n⇔A的列向量线性无关．矩阵A...

...为什么r(A)=n时,Aa1,…,Aas线性无关?怎么理解?谢谢!答：设0=x1Aα1+x2Aα2+...+xsAαs=A(x1α1+x2α2+...+xsαs)，因为R(A)=n，所以Ax=0只有零解，所以x1α1+x2α2+...+xsαs=0，再由α1,α2,...,αs线性无关，得x1=x2=...=xs=0。所以Aα1,Aα2,...,Aαs线性无关。

齐次线性方程组的解有什么条件?答：1、若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解。2、若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解。...

为什么矩阵可逆,它的行向量组就线性无关,列向量组也线性无关?答：即列向量线性无关。P可逆，列（行）向量线性无关，P行列式不等于0，P满秩，P的特征值都不为0，这几个是等价命题。矩阵可逆，则秩＝行向量个数＝列向量个数。矩阵的行向量组的秩等于行向量的个数，所以行向量组线性无关。同理，列向量组线性无关。例：...

有非零解什么意思?线代,帮帮忙,答：因为Aε＝0，而ε已知是非零列向量，所以Ax＝0有非零解ε，而对于其次线性方程组来说，Ax＝0有非零解等价于系数矩阵A的模等于零。齐次线性方程组指的是常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。性质 ...

A为m×n矩阵,r(A)=n,则AX=0只有零解,为什么答：A可以化为n个m维列向量构成的向量组，A=[α1,α2...αn],向量组的秩为n，等于向量个数，因此，这个向量组是线性无关的，即如果有n个常数使得k1α1+k2α2+...knαn=[α1,α2...αn]*[k1,k2,...kn]^T=A*x=O,必有k1=k2=...=kn=0,即x必为零向量，得证 ...

高等数学线性代数问题答：于是n-r1<=n-r2,于是r1≥r2。即秩（A）≥秩（B）。所以① 是正确的.若Ax=0与Bx=0同解，则Ax=0的基础解系中的n-r1个解向量与Bx=0的基础解系中的n-r2个解向量等价，于是n-r1=n-r2, 于是r1=r2. 即秩（A）=秩（B）。② ④ 都是不正确的，都可举出反例的.例如：...

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