正态分布三个公式
横轴区间（μ-σ，μ+σ）内的面积为68.268949%，横轴区间（μ-1.96σ，μ+1.96σ）内的面积为95.449974%，横轴区间（μ-2.58σ，μ+2.58σ）内的面积为99.730020%。
X~N(μ，σ²)：一般正态分布：均值为μ、方差为σ²；P(μ-σ）。
正态分布（Normal distribution)是一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布。
第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2 )。
遵从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x 轴上方的钟形曲线。
当μ＝0，σ^2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质。
例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
1. 知识点定义来源和讲解:
2. 知识点运用:
正态分布在实际应用中经常与三个公式相关联，它们分别是累积分布函数、概率密度函数和期望-方差公式。
① 累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）:
正态分布的累积分布函数是一个数学函数，用于计算随机变量落在某个给定值或范围内的概率。对于给定的随机变量X，其累积分布函数可以表示为：
F(x) = P(X ≤ x)
其中P表示概率。累积分布函数的计算可以使用查找表、数值积分方法或标准正态分布表等方式进行。
② 概率密度函数（Probability Density Function, PDF）:
正态分布的概率密度函数描述了随机变量X取某个特定值的概率密度。对于正态分布，它的概率密度函数可以表示为：
f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))
其中，μ是正态分布的均值（期望值），σ是正态分布的标准差。
③ 期望-方差公式:
正态分布的期望值和方差有一个重要的关系。对于正态分布，其期望值和方差可以表示为：
期望值（μ）= μ
方差（σ^2）= σ^2
这个公式表明，对于正态分布，均值和方差分别代表了分布的集中程度和离散程度。
3. 知识点例题讲解:
让我们通过一个例题来加深对正态分布三个公式的理解。
例题: 如果一个随机变量X服从均值为10、标准差为2的正态分布，求X ≤ 15的概率。
解法:
步骤1: 根据给定的均值和标准差，确定正态分布的概率密度函数：
f(x) = (1 / (2√(2π))) * e^(-(x - 10)^2 / 8)
步骤2: 计算累积分布函数，求X ≤ 15的概率：
F(x) = ∫[10, 15] f(x) dx
步骤3: 根据累积分布函数的定义，计算概率：
P(X ≤ 15) = F(15) - F(10)
根据具体计算，我们可以使用数值积分或查找表等方法得出最终的解答。
希望以上解答能够帮助到你！如有任何进一步的问题，请随时提问。
本回答被网友采纳1. 正态分布函数的概率密度函数：在一维情况下，正态分布的概率密度函数可以表示为:
f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * e^(-((x-μ)^2)/(2σ^2))
其中，f(x)表示随机变量X在某个特定取值x处的概率密度，μ表示分布的均值（期望值），σ表示分布的标准差。
2. 正态分布的累积分布函数：在一维情况下，正态分布的累积分布函数可以表示为：
F(x) = ∫[-∞, x] f(t) dt
其中，F(x)表示随机变量X小于等于某个值x的概率。
3. 正态分布的标准化公式：通过对随机变量进行标准化，可以将任意正态分布转化为标准正态分布。标准正态分布的均值为0，标准差为1。标准化的计算公式如下：
Z = (X - μ) / σ
其中，Z表示标准化后的随机变量值，X表示原始随机变量值，μ表示均值，σ表示标准差。
这些公式是理解和应用正态分布的基础，对于高中数学和统计学的学习都非常重要。
1. 正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）：
f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-((x - μ)^2 / (2σ^2)))
其中，f(x)表示在某个特定的取值x处的概率密度，μ表示均值，σ表示标准差，exp(x)表示e的x次方，sqrt(x)表示x的平方根，π为圆周率。
2. 正态分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）：
F(x) = ∫[−∞, x] f(t) dt
其中，F(x)表示在取值小于等于x的范围内的概率累积值，f(t)表示概率密度函数，∫表示积分运算。
3. 标准正态分布的累积分布函数：
Φ(z) = ∫[−∞, z] (1 / sqrt(2π)) * exp(-t^2/2) dt
其中，Φ(z)表示标准正态分布中取值小于等于z的范围内的概率累积值。
这些公式在统计学和概率论中用于描述和计算正态分布的性质和概率。正态分布是一种重要的连续概率分布，广泛应用于科学、工程和社会科学等领域中数据的建模和分析。
期望值公式：正态分布的期望值是指整个分布的平均值，用μ表示。在高中数学中，我们通常使用样本的平均值来估计总体的期望值。
方差公式：正态分布的方差是用来衡量数据的离散程度，用σ^2表示。它是各个数据与期望值之差的平方的平均值。
标准差公式：标准差是方差的平方根，用σ表示。它表示数据的离散程度，越大说明数据的分布越分散，越小说明数据的分布越集中。
这些公式在统计学和概率论中非常重要，用于描述和分析正态分布的特征。