已知一个三阶矩阵A,它的行列式为零,由此可以得出它的秩小于3,如果已知该矩阵的第一二行不成比例,为什么能得出它的秩为2?我们老师上课时就是这样直接看出来的,可惜我没听懂。如果三阶矩阵的三行都不成比例,结果又会怎样?矩阵行与行之间成不成比例与矩阵的秩又有什么关系?
这就是我们老师上课讲的矩阵A{4,-2,-2;-2,4,-2;-2,-2,4}。为什么我感觉这三行都不成比例呢?可它的秩是小于3的,这是怎么回事?
追答如上面的第二点所述, 利用三行成比例来判断的前提是要把矩阵"经过适当的初等变化后", 而不是直接进行判断, 比如你举的例子, 对A做初等行变换r1->r1+r2+r3, 就会得到新的r1是一个全0的行向量, 所以A秩小于3.
a1,a2不成比例,r{a1,a2}>1,即r{a1,a2}=2对吧?如何判断三行是否成比例呢,一定要化成行阶梯型吗?就拿矩阵A{4,-2,-2;-2,4,-2;-2,-2,4}来说,前两行不成比例可以很容易地看出,那判断三行是否成比例就不能用两行的判定方法对吧?
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