第1个回答 2012-11-05
第一个问题:AB=AC。
[证明]
∵AB、AC分别切中圆O于D、E,∴OD=OE。
∵AB、AC是大圆O的两弦,∴AB=AC(同圆中,弦心距相等的弦长也相等)。
第二个问题:BC与小圆O相交。
[证明]
取BC的中点为F。
∵AD切小圆O于D,∴AD⊥DO,
∴由勾股定理,有:AD=√(AO^2-OD^2)=√(25-9)=4。
∵OD⊥AB,∴AB=2AD=8。
∵AB=AC、BF=CF,∴AF⊥BF。
由∠OAD=∠BAF、∠ADO=∠AFB,得:△AOD∽△ABF,∴AD/AO=AF/AB,
∴4/5=AF/8,∴AF=32/5。
∵AB=AC、BF=CF,∴∠BAF=∠CAF。
∵AB、AC分别切小圆O于D、E,∴∠BAO=∠CAO。
由∠BAF=∠CAF、∠BAO=∠CAO,得:A、O、F都在∠BAC的平分线上,
∴OF=AF-AO=32/5-5=7/5<3,∴点F在小圆O内,∴BC与小圆O相交。
第三个问题:
当BC与小圆O相切时,有:AB=AC=BC,∴O是△ABC的内心,也是它的重心,
∴OA=2OF,∴R=2r。
∴当大圆半径是小圆半径的二倍时,BC与小圆相切。
第2个回答 2012-11-05
1)AB与AC相等:
先连接OA、OD、OE
∵OD⊥AB;OE⊥AC
又OD=OE;OA为公共边
∴△AOD≌△AOE
∴AD=AE
再连接OB、OC,
∵OB=OC;OD=OE,∠ODB=∠OEC并为直角
∴△ODB≌△OEC
∴DB=EC
∴AD+DB=AE+EC
即:AB=AC
2)连接OA、OD、OE、OB、OC
∵OD⊥AB;OE⊥AC
∴根据勾股定理:AD=AE=BD=CE=4
∴AB=AC=8
连接OA并延长AO交BC于M
两圆半径和=8
∴AM>AB
∴BC与与小圆相加
3)R=2r,假设直线BC与小圆相切,切点为Q;
由(1)作辅助可得AB=AC=BC;
则,△ABC为等边三角形;
连接OQ可得OQ⊥BC;
连接BO可得∠ABO=∠CBO
又∠ABC=60°
∴∠CBO=30°
又△OBC为直角三角形
∴OB=2OQ(注意:OB=R;OQ=r)
故:R=2r,直线BC与小圆相切本回答被提问者和网友采纳